Calcul de la capacité de refroidissement d'hélium du tuyau

Calcul de la capacité de refroidissement d’hélium du tuyauEn premier, il faut calculer la puissance frigorifique nécessaire :W f = ṁ∫ 3004.2= 1540 ṁ= 1540 ˙V ρCp(T ) dTOù ṁ = ˙V ρ est le débit massique d’hélium en gs −1 .Soit W conduite la puissance thermique conduite radialement, on a pour un cylindre delongueur L, de rayon interne r i et de rayon externe r e si la conductivité thermique k estconstante :W conduite = 2πkL ∆Tln rer iSi k = k(T ) on a :W conduite = 2πL k(T ) dTln rer i∫∆TDans notre cas la face externe du cylindre est plongée dans l’hélium liquide. La convectionnaturelle, le changement d’état et l’écoulement diphasique le long du tube procureun trés bon transfert de chaleur de tel sorte que l’on considèrera la température de la faceexterne T e comme constante (T e = 4.2K). Par contre la température de la face interneT i varie le long du cylindre en acier (coordonée z) on la note T i (z). Ainsi la puissancethermique conduite par le tuyau est :W conduite =2πln rer i∫ L ∫ Ti (z)0 4.2k acier (T ) dT dzAu sein de l’hélium gazeux cette puissance est convectée. On décrit cette convectionpar coéficient d’échange noté h, défini par la relation suivante :q = h∆TOù q est le flux thermique. h se calcule à partir du nombre adimensionnel de Nusselt :N u = h d.Le calcul de N k u dépend de l’écoulement et est discuté en annexe. d est unelongueur caractéristique de l’écoulement. En général les corélations sont établis pour unnombre de Nusselt basé sur diamètre hydrolique i.e :h = N u k2r iOn note W convect la puissance convectée par l’hélium à l’intérieur du tube et T c (z) latempérature de l’hélium gazeux au centre de l’écoulement.W convect = 2πr i∫ L0= 2πr i∫ L0= πN u∫ L0∫ Tc(z)T i (z)∫ Tc(z)T i (z)∫ Tc(z)T i (z)h dT dzN u k He (T )2r ik He (T ) dT dzdT dz1

En régime stationnaire, on a égalité entre W convect et W conduite . Ainsi la relation :πN u∫ L0∫ Tc(z)T i (z)N u∫ Tc(z)T i (z)W convect = W conduitek He (T ) dT dz =2πln rer ik He (T ) dT = 2ln rer i∫ L ∫ Ti (z)0 4.2∫ Ti (z)4.2k acier (T ) dT dzk acier (T ) dT(permet de calculer T i (z) en fonction de T c (z) (T i (z) = F 1 Tc (z) ) ).Maintenant, on cherche à relier W convect à W f . Pour cela il faut trouver le profil radialde température selon r et à z fixé. En général on suppose un profil parabolique tel que :( r) 2(TcT (r) ∣ = T c − − T i )z=cte r iCe profil respecte les deux conditions aux limites suivantes :– T (r = o) = T c– T (r = r i ) = T iDe plus il satisfait aux conditions de symétries qui imposent un flux radial nul au centre.D’où dT | dr r=0 = 0.On défini la température moyenne sur une section radiale :T m =12πr i∫ ri0∫ 2π0T (r)rdθdr= 2 3 T c + 1 3 T iOn voit que T m est une fonction de T c et T i . Comme on connait T i en fonction de T c , alorsT m depend de z uniquement par l’intermédiaire de T c ( T m (z) = F 2(Tc (z) ) ).On relie la puissance frigorifique qu’il a fallu fournir à l’hélium pour le refroidir à latempérature T m avec l’intégrale du flux linéique de puissance (l ∈ [0; L]) :ṁ∫ 300T m(z=l)Cp(T ) dT = πN u∫ l0∫ Tc(z=l)T i (z=l)k He (T ) dT dz (1)Il suffit de remplacer T m et T i par leurs expression en fonction de T c . On obtient uneéquation différentiel du premier ordre en T c , mais on a deux conditions aux limites. Onutilise la condition initiale T c (z = 0) = 300K pour déterminer la constante d’intégrationen fonction de ṁ. On calcule ṁ à l’aide de la condition finale T c (z = L) = 4.2K. Ainsi, onpeut calculer le débit d’hélium ṁ, à condition de connaitre les conductivités thermiquesk acier (T ) et k He (T ) et la capacité calorifique Cp He (T ) en fonction de la température dansla gamme : 4.2 à 300K.Bien sur, ce calcul ne tient pas compte de la chaleur latente (L = 20.72 J.g −1 ) qu’ilfaut rajouter au terme de gauche dans l’équation (1) en le multipliant par ṁ.annexe : calcul du nombre de NusseltLes informations sont tirées du livre de Jean TAINE et Jean-Pierre PETIT intituléTransferts Thermiques aux éditions DUNOD.Dans le cas qui nous intéresse, la principale difficulté réside dans le fait que les conditionsà la paroie interne sont mal connues. En effet ni la température ni le flux ne sontconstants. Cependant les corélations pour un écoulement laminaire en convection forcée2

dans un tube circulaire sont presque équivalente pour les deux types de conditions auxlimites. En effet pour une température de paroie constante on a : N u = 3.66. Dans le casoù on a un flux constant le long de la paroie, on trouve : N u = 4.364. Si l’on chercheun resultat à 20% prés on peut prendre N u = 4 si l’écoulement est laminaire et convectifdans un tuyau.Si l’écoulement est turbulant :on utilise l’équation suivante si L d ≥ 60 :N u = 0.02Re 0.8 P r 0.6Où le nombre de Reynolds est Re = ud où d le diamètre, u la vitesse au centre deνl’écoulement (qui se calcule avec un profil de poiseuil) et ν est la viscosité cinématique.Le nombre de prandtl : P r = ν où α est la diffusivité thermique.αon utilise l’équation suivante si 60 ≥ L d ≥ 20 :N u = 0.02Re 0.8 P r 0.6 (1 + 6 d L )3