L'ENSEIGNEMENT DE L'ARITHMETIQUE AU COLLEGE

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUEAU COLLEGEEléments de comparaisonentre la France et la SyrieMaha MAJAJUniversité Lyon 1LEPS- LIRDHIST 1Résumé : Dans cet article, nous nous intéressons à la place de l’enseignement de l’Arithmétiqueau collège en Syrie et en France. Une première étude des programmes et d’une collection de manuelsfrançais et des manuels officiels syriens montre des différences significatives entre les deux paysconcernant les contenus et les méthodes. Une comparaison plus systématique entre les deux systèmesscolaires offre des pistes pour éclairer les choix faits dans chacun des deux pays.I. IntroductionNous considérons dans notre travaill’Arithmétique au sens de Théorie des Nombres,à savoir le domaine mathématique qui étudieles différentes questions relatives aux nombresentiers : division euclidienne, divisibilité,ppcm, pgcd, nombres premiers entre eux,nombres premiers et décomposition en facteurspremiers. L’Arithmétique joue un rôle importantpour l’algorithmique et l’informatique ;en outre, elle permet dans les domaines numériquesde pratiquer une démarche scientifique: conjecture, recherche de contre-exemple,construction d’une argumentation.Alors qu’en Syrie, l’Arithmétique est présentede manière continue dans les programmes,après plusieurs années de quasi-disparitiondans les programmes français, elle a faitdepuis quelques années sa réapparition au collègeet au lycée en France 2 . Il nous est alorsapparu pertinent de conduire une étude comparativepour tenter d’éclairer les choix faitsdans chacun des deux pays.1 Laboratoire d’Etude du Phénomène Scientifique, EA 4148, équipede Didactique et d’Histoire des Sciences et des Techniques, LaPagode, 38 Bd Niels Bohr, 69622 Villeurbanne Cedex.2 Il faut noter cependant que l’arithmétique vient de disparaître desnouveaux programmes de seconde mis en place en France à la rentrée2009.73

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...d’autre part, une bonne aisance en calcul mentalpermet d’opérer rapidement des transformationsd’écriture sur les nombres, cequi est indispensable à la conduite de calculsnumériques et algébriques. »(op. cit., p.5)Dans nos analyses, nous distinguonsl’Arithmétique comme outil et l’Arithmétiquecomme objet en référence à « la dialectique outilobjet» développée par Douady (1986). Lesnotions arithmétiques jouant alternativementle rôle d’outil pour résoudre un problèmeet d’objet prenant place dans la constructiond’un savoir organisé.Une dimension outil : l’Arithmétique estalors considérée comme un outil pourrésoudre des problèmes émergeant dansdes contextes internes ou externes auxmathématiques. L’Arithmétique commeoutil apparaît dans le calcul numérique etle cryptage.Une dimension objet : l’Arithmétique est alorsconsidérée comme un ensemble structuréd’objets : multiple, diviseur, divisibilité, divisioneuclidienne, pgcd, ppcm, décompositionen facteurs premiers, nombres premiers etnombres premiers entre eux. Elle étudie despropriétés intrinsèques des nombres entierset des modes de raisonnement.Les questions que nous posons sont les suivantes: quelle est actuellement la place del’enseignement de l’Arithmétique dans lesprogrammes et les manuels scolaires dansles deux systèmes éducatifs au collège ? Commentest-elle abordée comme outil /objet toutau long du collège en Syrie et en France? Estcequ’il y a des différences dans les choix etles organisations des contenus et des méthodes,en regardant précisément quels sont les objetsqui existent à un moment donné comme outilet comme objet dans les deux systèmes éducatifs? Quels objets sont absents ? Ces objetsont- ils existé à d’autres moments ? Quelle estla place de cet objet ? Quelles sont les fonctionsoccupées par l’arithmétique dans lesdeux systèmes éducatifs ? 3Pour apporter des éléments de réponsesà ces questions, nous allons faire une analysedes programmes et des manuels scolairesdes deux systèmes éducatifs.II. Analyse des contenusd’arithmétique dans les manuelssyriens, les programmes français, etune collection de manuels françaisDans ce paragraphe, nous présentonsl’organisation des contenus d’arithmétique,niveau par niveau, comme objet d’étude etcomme outil dans les manuels syriens (II.1),les programmes français (II.2) et les manuelsfrançais de la collection Triangle (II.3). L’analysecomparative des contenus d’enseignementdans les deux pays fera l’objet du paragrapheIII.En ce qui concerne la Syrie, nous n’avonspas eu accès aux programmes, mais seulementaux manuels, qui sont les manuels officiels.En effet, contrairement à ce qui se passe enFrance, il n’existe qu’un éditeur en Syrie(L’établissement public pour les imprimés etles manuels scolaires).En ce qui concerne laFrance, nous avons choisi une édition relativementutilisée en particulier dans la régionlyonnaise où nous conduisons nos recherches,et qui est considérée comme ayant des contenusplutôt innovants, il s’agit de la collection« Triangle » éditée par Hatier.3 Ce questionnement s’inscrit dans la perspective Anthropologiquedu Didactique (Artaud, 1997).75

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...Pour faciliter la lecture, nous montrons dansle tableau suivant, les correspondances entreclasses scolaires au collège en France et en Syrie.Age Les classes Les classesen France en Syrie11-12 ans Sixième Sixième12-13 ans Cinquième Septième13-14 ans Quatrième Huitième14-15 ans Troisième NeuvièmeII-1. Les manuels syriensDans ce qui suit, nous présentons l’organisationdes contenus d’arithmétique, niveaupar niveau, comme objet d’étude et comme outildans les manuels syriens.En classe de sixième : Nous n’avons trouvé qu’unchapitre concernant l’arithmétique, il s’intitule: « Théorie des nombres » dans lequelnous trouvons les objets suivants :1- La divisibilité et les critères de divisibilité;2- Puissance ;3- Diviseurs d’un nombre ;4- Les nombres premiers ;5- Le plus grand commun diviseur ;6- les nombres premiers entre eux ;7- La décomposition en facteurs premiers ;8- Fraction irréductible ;9- Racine carrée ;10-Utiliser la décomposition en facteurspremiers pour trouver la racine carré d’unnombre ;11-1Multiples d’un nombre ;11-2 Multiples communs de deux nombresou plus ;11-3 Plus petit multiple commun ;11-4 Trouver le PPCM en utilisant « décomposeren facteurs premiers » ;11- 5 Le plus petit multiple commun desnombres premiers entre eux.En classe de septième : Nous avons relevé unchapitre qui fait intervenir les objets de théoriedes nombres comme outil dans le travailsur les fractions. Dans ce chapitre intitulé :« Nombres et écriture décimale », la notion demultiple est présentée comme outil pour la réductionau même dénominateur dans le cas où l’undes dénominateurs est un multiple de l’autre,et la notion de plus grand diviseur communest utilisée également comme outil pour obtenirune fraction irréductible.En classe de huitième : Deux chapitres font intervenirles notions de théorie des nombrescomme outils, les deux chapitres sont :1: «Ensemble des nombres réels » : ce chapitrepropose le PGCD comme outil pour simplifierdes fractions ; le multiple comme outilpour obtenir des fractions égales.2: « Equations » : dans ce chapitre le PPCMest un outil pour la réduction au mêmedénominateur lors la résolution des équationsavec fractions.3 2Exemple : — x – x – — x =4 3Pour résoudre cette équation, on réduit aumême dénominateur en cherchant le ppcm.Le ppcm est 129—1212 8x – — x – — x =12 121— 34—12On multiple ensuite par 12 les deux membresde l’équation :9 x – 12 x – 8 x = 4 – 11 x = 4 x = –4—1176

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...En classe de neuvième : Les objets de la théoriedes nombres interviennent comme outil danstrois chapitres qui sont les suivants :1: «La factorisation par le facteur commun » :dans ce chapitre le PGCD est un outil pour factoriserdes expressions algébriques :Exemple : Pour factoriser l’expression suivante: 5 x 3 – 15 x 2 + 35 x, nous trouvons lepgcd des coefficients. Le pgcd est ici 5 :Donc : 5 x 3 – 15 x 2 + 35 x = 5 x(x 2 – 3 x + 7).2: « Fractions rationnelles » : ce chapitre proposele PPCM comme outil pour la réductionaux mêmes dénominateurs pour additionneret soustraire des fractions rationnelles.7x x 2 – 3Exemple : calculer ––––– + ––––– + 3 :2(1 – x) 1 – x 27x x 2 – 3 3––––– + ––––––––– + — .2(1 – x) (1 – x)(1 + x) 1Le PPCM de ces dénominateurs est :2(1 – x) (1 + x). Il est obtenu en faisant le produitdes facteurs communs et des facteursnon communs.7x x 2 – 3 3––––– + ––––––––– + — .2(1 – x) (1 – x)(1 + x) 11 + x 2 2 (1 – x 2 )7x(1 + x) + 2(x 2 – 3) + 6(1 – x 2 )–––––––––––––––––––––––––2(1 – x)(1 + x)7x + 7x 2 + 2x 2 – 6 + 6 – 6x 2–––––––––––––––––––––2(1 – x)(1 + x)==3 x 2 + 7 x–––––––––2(1 – x)(1 + x)C’est ainsi que l’arithmétique en Syrie n’estobjet d’étude qu’en classe de sixième, tandisqu’elle joue un rôle d’outil pour le calcul numériquetout au long du collège. Par conséquentdeux fonctions de l’Arithmétique sont présentesdans les manuels Syriens: la fonction« Théorie des nombres » qui présente l’aspectthéorique de l’Arithmétique, et la fonction« Calcul numérique » qui présente l’aspect pratiquede l’arithmétique.II-2 Les programmes français du collègeL’arithmétique apparaît dans les programmesfrançais dans la partie « Travauxnumériques » dans la colonne « Nombresentiers » dans les programmes de sixième etde cycle central, et ceci sans que le terme« Arithmétique » n’ait été introduit ; on rencontrece terme une seule fois, dans un commentairedu programme de la classe de troisièmequi souligne la fonction culturelle del’Arithmétique :Cette partie d’arithmétique permet une premièresynthèse sur les nombres, intéressantetant du point de vue de l’histoire des mathématiquesque pour la culture générale desélèves. (Programme de troisième, 1998, p.85) 4Les élèves sont amenés en classe desixième à travailler sur la division euclidienneet les nombres en écriture fractionnaire.Les programmes de cette classe mettentde plus en plus l’accent sur le vocabulairede la division euclidienne, et nous trouvonstrois compétences exigibles dans les pro-3: «Opérations sur les fractions rationnelles» : dans ce chapitre le PPCM est un outilpour résoudre des équations fractionnaires àune inconnue.4 Toutes les citations des programmes du collège des années 1996,1997, 1998 qui vont suivre sont contenues dans le document du Ministrede la Jeunesse, de l’Education Nationale et de la recherche : « Enseignerau collège mathématiques, Programmes et Accompagnement» réimpression mars 2004.77

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...grammes 2004 qui ne sont pas présentesdans les programmes de 1996 :— Reconnaître les situations qui peuvent êtretraitées à l’aide d’une division euclidienneet interpréter les résultats obtenus ;— Calculer le quotient et le reste d’une divisiond’un entier par un entier dans des cassimples (calcul mental, posé, instrumenté) ;— Connaître et utiliser le vocabulaire associé(dividende, diviseur, quotient, reste).(Programme de sixième, 2004, p.10) 5Quant aux notions de multiple et de diviseur,elles sont rappelées sur des exemplesnumériques en sixième, avec une affirmationque les différentes significations du diviseurdoivent être explicitées, tandis que pour la divisibilité,aucune compétence n’est exigibledans cette classe. Néanmoins, les critères dedivisibilité sont y proposés pour reconnaîtredans des cas simples que deux écritures fractionnairesdifférentes sont celles d’un mêmenombre.Dans le document d’accompagnement dela classe de sixième, la nécessité de maîtriserle vocabulaire de l’arithmétique dans les activitésmathématiques est affirmé :Les élèves doivent être capables d’employercorrectement le vocabulaire de l’arithmétique,de la statistique et de la géométrie dansdivers types d’activités mathématiques (résolutiond’exercices, description de figures,développement d’arguments…).(L’accompagnement du programmede sixième, 1996, p.32)Le calcul mental portant sur les nombresinférieurs à 100 reste une nécessité à ce niveau.« La résolution de problèmes numériques et,plus tard, le calcul algébrique supposentune bonne maîtrise des relations arithmétiquesentre les nombres inférieurs à 100. »(L’accompagnement duprogramme de sixième, 1996, p.33)Au cycle central (classe de cinquième etde quatrième), c’est l’occasion d’approfondirla notion de multiple et de diviseur où « Lareconnaissance de multiples et diviseurs est faitesoit en utilisant les critères de divisibilité […]soit en ayant recours au calcul mental ou à ladivision. » 6 , et d’aborder la simplification desécritures fractionnaires mais sans utiliser lanotion de fraction irréductible.La simplification a été abordée en classede sixième et elle est présentée égalementen cinquième: « C’est l’occasion d’envisagerla notion de fraction irréductible, mais aucunecompétence n’est exigible à ce sujet » 7 .Le document d’accompagnement du programmesignale que la forme irréductible desnombres n’est ni à rechercher systématiquementni exigible. Au centre central, il est bienprécisé, dans la partie commentaire du programmede la classe de quatrième, que larecherche du PPCM et PGCD pour l’obtentionde la forme irréductible d’une fraction esthors programme :« L’addition de deux nombres relatifs enécriture fractionnaire demande un travailsur la recherche de multiples communs à deuxou plusieurs nombres entiers dans des casoù un calcul mental est possible. La recherchedu PPCM et du PGCD pour l’obtention dela forme irréductible est hors programme ».(Programme de quatrième, 2005, p.18)5 Programme de sixième, BO Hors série N°5, 9 septembre 2004. 6 Programme du cinquième, BO.N° 5, 25 Aout 2005 Hors série, p. 12.7 Programme du cinquième, BO.N° 5, 25 Aout 2005 Hors série, p. 12.78

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...En troisième, les élèves enrichissent leursconnaissances en arithmétique : l’algorithmed’Euclide ou celui des différences leurfournit une technique de recherche du PGCDde deux entiers, et leur donne une méthodepour rendre des fractions irréductibles.Comme nous l’avons dit, le programme detroisième, dans le commentaire, met l’accentsur l’aspect culturel de l’arithmétique, alorsque la nouvelle fonction de l’arithmétique quise dégage des programmes serait plutôt l’aspectalgorithmique.Trois compétences exigibles sont explicitéesà ce niveau :1) Déterminer si deux entiers donnés sontpremiers entre eux ;2) Savoir qu’une fraction est dite irréductiblesi son numérateur et son dénominateursont premiers entre eux ;3) Simplifier une fraction donnée pour larendre irréductible.L’algorithme d’Euclide et l’algorithme dedifférence sont les deux méthodes privilégiéespar le programme pour déterminer lePGCD, sans recours à la décomposition en facteurspremiers. Il est en général reconnu quec’est à cause de cette dernière que l’arithmétiqueavait été bannie de programme du collègedans les années quatre-vingt :« Après avoir travaillé au cycle central surles notions de multiples et de diviseurs, il estnécessaire de savoir si deux entiers sont ounon premiers entre eux. Pour l’obtention duPGCD de deux entiers, le programme préconisel’algorithme d’Euclide ou éventuellementun algorithme de différence la répétition dela transformation qui à un couple d’entiers(a, b) fait correspondre le couple constituéde leur minimum et de leur écart, par exemplequi à (285, 630) fait correspondre (285, 345)– plutôt que le recours à la décomposition enfacteurs premiers. Il n’est pas inutile derappeler que l’arithmétique avait été banniedes programmes de mathématique du collègeprécisément à cause de l’abus du recoursà la décomposition en produit de facteurs premiers.Certes les facteurs premiers de petitsnombres, 924 ou 1999 pour donner desexemples, s’obtiennent facilement. Mais il n’enest plus du tout de même pour de plus grandsnombres, dont l’ordinateur rend aujourd’huinaturelle la considération. C’est ainsi qu’ilsera par exemple beaucoup plus facile d’établirdirectement que les deux nombres12345678910111213 et 10000000000000007ne sont pas premiers entre eux que d’essayerde trouver leur décomposition en facteurs premiers.»(Document d’accompagnementdu programme de troisième, 1998, p.97)II.3 Les manuels françaisNous avons retenu pour notre étude lesmanuels français des classes de sixième, cinquième,quatrième et troisième de la collectionTriangle, édités par Hatier (Chapiron &al., 2005, 2006, 2002, 2003).En classe de sixième : L’arithmétique joue unrôle objet/ outil de la manière suivante :• Elle intervient explicitement comme objetdans un chapitre intitulé « Division et problèmes» dans lequel les objets suivants sontproposés :1: Division euclidienne.2: Diviseurs et multiples.3: Critères de divisibilité.• Elle intervient aussi comme outil dans unchapitre intitulé : « Fractions et problèmes »79

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...(les notions de multiple et diviseur, et les critèresde divisibilité sont des outils pour obtenirdes fractions égales et pour simplifier desfractions).En classe de cinquième : Deux chapitres fontintervenir explicitement l’arithmétique commeoutil : « Fraction – Quotients »; « Opérationssur les écritures fractionnaires».Dans les deux chapitres, les notions de diviseuret de multiple et des critères des divisibilitéssont présents dans le travail sur les fractionspour simplifier des fractions et pouradditionner et soustraire des fractions.En classe de quatrième : Un seul chapitreintitulé « Ecritures fractionnaires » fait intervenirexplicitement l’arithmétique comme unoutil : la recherche d’un multiple communest un outil pour la réduction au même dénominateur,et les critères de divisibilité et lerecherche d’un diviseur commun sont égalementdes outils pour simplifier des fractions.En classe de troisième : L’arithmétique est proposécomme objet d’étude dans un chapitre intitulé« Calcul numérique et PGCD » qui présenteles objets suivants :1: Diviseurs et Multiples.2: Plus Grand Diviseur Commun.3: Nombres entiers premiers entre eux.4: Fraction irréductible.Deux techniques sont proposées pourtrouver le PGCD afin de rendre irréductibleune fraction : l’algorithme d’Euclide et l’algorithmedes différences successives. Les outilspour mettre en oeuvre ces techniques sont lecalcul à la main, la calculatrice et le tableur.C’est ainsi que, en France, l’arithmétiqueest proposée comme objet d’étude en sixièmeet en troisième, tandis qu’elle elle est proposéecomme outil tout au long du collège.Nous trouvons trois fonctions de l’arithmétiquedans les manuels français : la fonction« Théorie des nombres », celle de « Calculnumérique », et une fonction dominanteen troisième « Algorithmique » pour faire travaillerles élèves sur les aspects algorithmiquesdes mathématiques.III. Analyse comparative descontenus d’arithmétique au collègeentre la France et la SyrieNous présentons dans ce qui suit uneanalyse comparative qui met en perspectiveles différences entre les deux systèmes éducatifsen abordant les contenus d’arithmétiquethème par thème. Le choix que nous faisonspour présenter ces thèmes est justifié parl’articulation existant entre eux. Les relationsde divisibilité sont établies à partir dela division euclidienne. Ensuite, la décompositionen facteurs premiers, qui s’appuie surla notion de nombres premiers, est un outilpour la recherche de PGCD et PPCM dans letravail sur les fractions ; le PGCD est égalementlié à la notion de nombres premiersentre eux, et est utilisé pour obtenir une fractionirréductible.III.1 Division euclidienneet relation de divisibilitéDans les deux pays, la division euclidienneest enseignée à l’école primaire. En Syrie,elle est présentée comme objet d’étude; elle n’estpas reprise comme objet d’étude en sixième.En France, l’étude de la division euclidienne,commencée en primaire se poursuit en classede sixième.80

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...La relation de divisibilité comme objetd’étude : Dans les manuels français, la relationde divisibilité est proposée comme objetd’étude en sixième, alors que les termes associés(multiples, diviseurs) sont rappelés, surdes exemples numériques, dans les programmesde sixième dans la partie commentaire,et sont réintroduits dans la colonne« contenus » dans les programmes de cinquième.La partie commentaire des programmesde sixième met en valeur les deux sens du mot« diviseur » qu’il faut distinguer :• Le vocabulaire « être le diviseur d’unnombre » : par exemple « b est un diviseurde a » qui se traduit par l’égalité«a = b q » ;• Le vocabulaire : diviseur dans la divisioneuclidienne a = b q + r ; b est le diviseur,q le quotient et r le reste.On peut lire également :La notion de multiple a été introduite àl’école primaire. Elle est rappelée, sur desexemples numériques, en même temps qu’estintroduite celle de diviseur. Les différentessignifications de ce dernier terme doivent êtreexplicitées. (Programme français de sixième,2004, p.10)Le manuel français « Triangle » de sixièmepropose la définition de la relation dedivisibilité à partir de la notion de multiple.« Un nombre entier a est divisible par unnombre entier b (où b est un diviseur de a)signifie que a est un multiple de b. » (Triangle,classe de sixième, p.47)Ce n’est pas le cas dans les manuelssyriens qui étudient chaque terme de la relationde divisibilité en sixième dans une rubriqueindépendante (Voir II.1) Le manuel syrienpropose la relation de divisibilité en termesde propriété à partir de la division euclidienne,nous pouvons citer :« Un nombre entier a est divisible par unnombre entier b signifie que le reste de la divisioneuclidienne de a par b est nul. » (Manuelsyrien de la classe de sixième, p.47)Mais ni le manuel syrien, ni a fortiori lemanuel français, ne proposent une définitionformelle de la relation de divisibilité en termede relation entre deux nombres tel :Dire que le naturel a est un multiple dunaturel b signifie qu’il existe un naturel qtel que : a = b qDire que le naturel b est diviseur du naturela signifie qu’il existe un naturel q et unseul tel que : a = b qLes manuels français étudient à nouveaula notion de « diviseur d’un nombre » en troisième,avant d’introduire la notion de « diviseurcommun à deux nombres », ce qui n’estpas le cas dans les manuels syriens où levocabulaire de la relation de divisibilité a étéprésenté en sixième, et n’est pas repris ensuitecomme objet d’étude.Le choix fait par les manuels syriensquant aux notions de multiple et de diviseurest de les proposer en termes ensemblistes. Nouspouvons citer la définition de diviseur d’unnombre proposé par ces manuels de la manièresuivante :On sait que : 18 = 1 × 1818 = 2 × 918 = 3 × 6On appelle les nombres 1, 18, 2, 9, 3, 6 diviseursde 18. […] L’ensemble des diviseurs81

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...teur commun : ici le plus grand dénominateurde18 est {1, 2, 3, 6, 9, 18} (Manuel syrien de2 +2 5 4 + 5 9la classe de sixième, p. 67)est 6, 6 est un multiple de 3, donc on peutprendre comme dénominateur commun 6.Ils proposent deux définitions du multiple: la première propose la définition des multiplesd’un nombre comme produit de cenombre par les entiers successifs à partir de0 sur un exemple :Dans les manuels français de la collectionTriangle, la méthode proposée est l’utilisationdes fractions égales pour additionner et soustrairedes fractions : pour additionner deuxfractions dont l’un des dénominateurs estLes multiples de 6 sont : 0, 6, 12, 18, 24, ……c-à-d les résultats de produit 6 avec lesnombres : 0, 1, 2, 3, 4, ….multiple de l’autre, on remplace dans le calculune des fractions par une fraction égaleavec un dénominateur approprié.(Manuel syrien de la classe de sixième, p 84)2 5EXEMPLE : Calculer B = +3 6La deuxième définition de multiple est proposée2 5Un nombre est un multiple du nombre imposési ce nombre est divisible par ce nombresont égales aux fractionsB = + (1) J’écris des fractions qui3 6imposé.données et qui ont le même348 est un multiple de 6 car 348 ÷ 6 = 58dénominateur.161 n’est pas multiple de 6 car 161 ÷ 6 = 264 5et le reste est 5B = — + —6 (2) J’applique la règle d’additionde deux fractions de6161 n’est pas divisible par 6.2 4 même dénominateur.(Manuel syrien de la classe de sixième, p.84) car — = — 3 6de la manière suivante :SOLUTION : ETAPE :4 + 5La relation de divisibilité comme outil : B = –––– ;la notion de multiple est explicitement utiliséedans les manuels syriens en classe de 9 36(3) Je simplifie, si possible,B = — ; B = — le résultat.septième pour la réduction au même dénominateur6 2(dans le cas où le dénominateur del’un est un multiple du dénominateur de(Triangle, classe de cinquième, p.54)l’autre) pour additionner et soustraire desfractions par exemple :356=+ =3 621=6Il suffit de constater que le plus grand dénominateurqui est le multiple de l’autre dénominateurpeut être pris comme dénomina-6En accord avec les programmes, la systématisationde la réduction au même dénominateurdans le cas général est repoussée enclasse de quatrième, où elle est traitée enutilisant les multiples communs.« La systématisation de la réduction aumême dénominateur est traitée en 4e. »(Programme français de la classe de cinquième,p. 49)82

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...III.2 Nombres premiers etdécomposition en facteurs premiersLa notion de nombre premier n’est pas évoquéecomme objet d’étude dans les programmesfrançais du collège. Par contre, les nombrespremiers sont présentés comme objet d’étudeen classe de sixième dans les manuels syriens ;citons la définition de nombre premier tellequ’elle est proposée dans les manuels syriens :Chaque entier naturel supérieur à 1 et quia exactement deux diviseurs distincts 1 et luimêmeest appelé nombre premier.c-à-d un nombre premier : c’est tout entiersupérieur à 1 et qui n’est divisible que parlui-même et 1.(Manuel syrien de la classe de sixième, p.69)La décomposition en facteurs premiers n’estintroduite qu’en seconde, dans le programmefrançais, alors que cette notion est introduitedans les manuels syriens en sixième commeune technique pour trouver le PGCD, le PPCMet la racine carrée.Par contre, l’algorithme d’Euclide et laméthode de soustractions successives qui sontdes méthodes très simples et courtes pourtrouver le PGCD, sont absents dans lesmanuels syriens.Le programme français préconise l’algorithmed’Euclide ou éventuellement l’algorithmedes différences successives plutôtque le recours à la décomposition en facteurspremiers pour trouver le PGCD de deuxnombres. Le document d’accompagnement rappelleque :« L’arithmétique avait été bannie des programmesde mathématique du collège précisémentà cause de l’abus du recours à ladécomposition en produit de facteurs premiers».(Document d’accompagnementdu programme français de laclasse de troisième, p. 97)Sans doute la décomposition en facteurspremiers est facilement utilisée pour despetits nombres mais elle est considérée commeétant assez difficile avec des grands nombres.Elle conduit, selon l’équipe de Irem de Toulouse,à une confusion dans la signification duPGCD pour les élèves car : « dans les techniquespratiquées au collège, la recherche du PGCDde deux nombres se fait en travaillant simultanémentsur les deux entiers. Avec la décomposition,on fait apparaître une étape préparatoirequi consiste à travailler séparément surchaque nombre » (p.8)Selon l’équipe de l’Irem de Toulouse, l’algorithmed’Euclide est la méthode privilégiée parles élèves à la fin du collège, mais en classe deseconde, après avoir appris la décompositionen facteurs premiers, la moitié des élèves neconnaissent plus cette technique. Ces auteursajoutent, en conclusion de leur enquête :«A l’issue de la troisième, une large majoritéd’élèves maîtrise un algorithme de calculdu pgcd de deux nombres, principalementl’algorithme d’Euclide. Après l’introductiondes nombres premiers en seconde, environun élève sur deux connaît encore un desalgorithmes étudiés au collège, mais n’apas toujours su s’approprier la technique ducalcul du pgcd à l’aide de la décompositionen produit de nombres premiers. »(Destainville & al., 2005, p.12)Cependant, la décomposition en facteurspremiers a certains avantages ; un de sesintérêts provient du fait que la décomposition83

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...en facteurs premiers permet de déterminer lePGCD de plus de deux nombres, de manièreplus économique a priori que les deux algorithmeslorsque le nombre d’entiers en jeu augmente.Ainsi, la décomposition en facteurs premiersa des avantages, et a aussi des désavantages; elle est, d’une part, considéréecomme une méthode très riche qui ouvre laporte à d’autre type d’exercices, elle fait fonctionnerla notion de nombres premiers ; elleest utilisée pour déterminer le PPCM ; son intérêtest mis en évidence pour calculer le PGCDde plus de deux nombres. Mais d’autre part,elle est considérée comme une méthode trèslongue pour trouver le PGCD, son apprentissageau collège nécessite beaucoup de temps, sa maitrisedemande de nombreux d’exercices, etla difficulté augmente avec la taille desnombres.Nous nous demandons si la raison del’abus de cette méthode dans l’enseignementde l’arithmétique en France dans les annéesquatre-vingt, comme le rappelle le documentd’accompagnement du programme de troisième,est ce qui empêche effectivement sonétude en troisième, à côté de l’algorithmed’Euclide.III.3 Le plus petit multiple communLe PPCM comme objet d’étude est absentdans les programmes et les manuels français,et sa place comme outil est faible ; il estprésenté sous l’intitulé « multiple commun »en quatrième pour calculer la somme denombres relatifs en écriture fractionnaire.Tandis que le PPCM est bien présent dans lesmanuels syriens en sixième comme objet, etcomme outil tout au long du collège et enparticulier, en neuvième.Les manuels syriens présentent le PPCMde deux nombres entiers et le cas particulierdu PPCM de deux nombres premiers entre euxaprès la présentation des notions de multipleet de multiple commun, et proposent des exercicesà résoudre, visant à permettre d’établirun lien entre le PPCM et le PGCD (qui est abordéavant le PPCM) dont le résultat classique :« Le produit du PGCD et du PPCM de deuxnombres est égal au produit de ces deuxnombres »La recherche du PPCM de deux nombresse fait ici à partir du PGCD et du produit deces deux nombres. Les propriétés du PPCMsont proposées dans les manuels syriens sousla forme d’un exercice résolu.Par exemple : trouver le PPCM des nombres :12, 8, 48, 24On trouve que le plus grand nombre 48est divisible par chacun de ces nombres doncle PPCM = 48 . C’est ainsi que la recherchedu PPCM est considérée comme une techniqueimportante, dans les manuels syriens,pour :• Comparer deux fractions ;• Additionner, soustraire des fractions enseptième ;• Résoudre des équations avec fractionsen neuvième ;• Opérer sur les fractions rationnelles enneuvième.Deux techniques sont proposées par lesmanuels syriens pour trouver le PPCM : laméthode qui consiste à lister en parallèle lesmultiples des deux nombres dans l’ordre croissantet d’identifier le premier nombre communaux deux listes d’une part, la méthode de84

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...« décomposition en facteurs premiers » qui estproposée après la recherche du PPCM desnombres premiers entre eux,III.4 Le plus grand diviseur communLes manuels syriens proposent le PGCDen classe de sixième, et la recherche du PGCDde deux entiers se fait à partir de la décompositionen facteurs premiers.Par exemple : trouver le PGCD des deuxnombres 180, 168180 2 168 290 2 84 245 3 42 215 3 21 35 5 7 71 1180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7PGCD = 2 × 2 × 3 = 2 2 × 3 = 12(Manuel syrien de la classede sixième, p.73)En classe de neuvième, le PGCD est considérécomme un outil important pour factoriserles expressions algébriques.Exemple : factoriser l’expression suivante :15 xy 2 z 2 – 50 x 2 z 2 + 35 x 3 z 3Le PGCD des nombres 15, 50, 35 est 5 :5 xz 2 (3 y 2 – 10 x + 7 x 2 z) .En ce qui concerne les manuels françaisde troisième que nous avons étudiés (Triangle),ils introduisent le PGCD en classe detroisième pour obtenir des fractions irréductibles,et la recherche de PGCD se fait dansces manuels en utilisant les soustractionssuccessives, et l’algorithme d’Euclide, avecl’utilisation du tableur ; ces méthodes ne sontpas disponibles dans les manuels syriens. Laméthode qui consiste à trouver le PGCD encherchant le plus grand élément de l’ensemblede diviseurs communs de deux nombres, estune technique commune dans les manuelssyriens et français.Par contre, contrairement aux manuelssyriens, les manuels français ne s’appuient passur le PGCD comme un outil pour factoriserles expressions algébriques, ceci conformémentà l’esprit des programmes. Nawal AbouRadd (2006) a montré que le PGCD est un objetabsent institutionnellement dans le travail algébriqueen France, alors qu’élèves et enseignantsen disposent. Elle a montré que cechoix prive les élèves et les professeurs demoyens pour expliciter si une factorisation aété menée ou non à son terme : ainsi, l’élèvequi se voit reprocher de s’arrêter à la réponse5(5x – 15) pour factoriser l’expression :(25 x – 75) est confronté en quelque sorte à une« rupture de contrat », puisque il a mené unefactorisation partielle, et qu’il ne dispose pasde moyen explicite pour se diriger vers la factorisation« au maximum ».Pour Abou Radd (2006), le PGCD est unoutil très important pour la factorisation car« il y a entre le PGCD et la factorisation unerelation de dépendance d’un type connu depuisle travail de Rajoson (1988) 8 sur le rapport desproblèmes aux outils théoriques : un objet desavoir comme par exemple, le PGCD, ne peut8 Rajoson L. (1988), L’analyse écologique des conditions et descontraintes dans l’étude des phénomènes de transposition didactique: trois études de cas. Thèse de troisième cycle, Université d’Aix-Marseille II.85

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...vivre durablement dans l’enseignement que s’ilest utilisé par un autre, servant à construireune théorie de plus grande ampleur comme lafactorisation des polynômes, qui pose et résoutdes problèmes plus larges comme la résolutiondes équations. Inversement, sa présence fait vivredes questions de plus faible niveau, relativespar exemple à la divisibilité des entiers ouaux tables de multiplication. » (Abou Radd, 2006)Nous avons vu plus haut qu’en Syrie, en classede neuvième, qui correspond à la troisièmefrançaise, l’utilisation du PGCD et duPPCM était étendue aux polynômes et aux fractionsrationnelles.La question de l’intérêt ou non de factoriser« au maximum » une expression numériqueou algébrique peut être posée, comptetenu de l’évolution des programmes et de ladisponibilité des calculatrices et du calculformel. Lors d’un atelier que nous avons proposéle 26 octobre 2009 aux journées nationalesde l’APMEP à Rouen 9 , les participants (professeursde collège, de lycée et de classe préparatoires)ont émis des avis divergents.Parmi les arguments en faveur de ce travail,on peut retenir l’intérêt que présente uneexplicitation des objets théoriques qui fondentles techniques dans le domaine numériquepour s’appuyer sur cette référencelorsque l’on aura à travailler sur l’arithmétiquedes polynômes. Aucun consensus ne s’estdégagé du (bref) débat sur cette question.III.5 Application du PGCD à ladéfinition des nombres premiersentre eux et aux fractions irréductiblesLa notion de nombres premiers entreeux, dans les manuels français, n’est un objet9 L’atelier intitulé « Place de l’enseignement de l’arithmétique dansl’enseignement secondaire en France : 1902-2008 » était co-animéavec Viviane Durand-Guerrier ».d’étude qu’en classe de troisième, tandis quecet objet est présent, dans les manuels syriensen classe de sixième.En Syrie, les fractions irréductibles sontintroduites comme objet d’étude en classe deseptième qui correspond à la cinquième française,alors que cette notion est introduitedans les manuels français en troisième, cecibien que les élèves sachent simplifier desfractions pour obtenir la forme « la plus simplepossible » (c’est-à-dire la forme irréductible)par critères de divisibilité à partir de la classede cinquième sur des cas simples.Comme on l’a vu ci-dessus pour la factorisationdes expressions algébriques, on peutpenser que l’absence de la notion de fractionirréductible ne permet pas toujours auxélèves de savoir si la forme obtenue à unmoment donnée est la forme « la plus simplepossible », ce qui peut les conduire à donnerune réponse partielle.ConclusionL’analyse comparative que nous avonsmenée entre la France et la Syrie nous montrequ’il y a des différences significatives entre lesdeux pays. Tout d’abord, cette étude montreque l’enseignement de l’arithmétique n’estpas un enjeu très important aujourd’hui dansle système éducatif français au collège et cecontrairement à l’enseignement syrien. L’analysedes programmes et des manuels scolairesfrançais de collège montre en effet d’unepart que l’arithmétique occupe une placeréduite, tant comme objet que comme outil,et que l’enseignement des notions d’Arithmétiqueau programme est réparti sur tout lecollège, principalement en sixième et en troisième.Dans les manuels syriens l’arithmétiqueest présentée dés la classe de sixième comme86

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...objet d’étude dans un chapitre intitulé : «Théories des nombres », puis est utiliséecomme outil tout au long du collège. On trouvetrois fonctions de l’arithmétique dans lesmanuels syriens: « théorie des nombres »,« calcul numérique» et « calcul algébrique »,tandis que l’arithmétique a, dans les manuelsfrançais, quatre fonctions : « culturelle », « calculnumérique », « théorie des nombres » et« algorithmique ».On trouve également des différencessignificatives dans les choix concernant lesnotions, algorithmes et techniques entre lesdeux pays. Les nombres premiers et la décompositionen facteurs premiers sont des notionsabsentes dans les manuels français au collègetandis qu’elles sont présentées en sixièmedans les manuels syriens. Les notions deracine carrée et puissance font partie del’arithmétique en Syrie, alors que ces notionsne font plus partie de l’arithmétique depuisla réforme des mathématiques moderne enFrance. L’étude de la division euclidiennecomme objet est considérée comme étantachevé la fin de l’école primaire en Syrie,tandis qu’en France elle se poursuit jusqu’ensixième. Le plus petit multiple communcomme objet d’étude est absent dans lesmanuels français et sa place comme outilest faible, il est présenté en quatrième dansle travail sur fractions, tandis que les manuelssyriens présentent le PPCM en sixièmecomme objet d’étude et comme outil, en particulier,en neuvième. Enfin, le programmefrançais introduit l’algorithme d’Euclide, laméthode des soustractions successives et letableur comme outils pour trouver le PGCD,alors qu’il n’y a pas d’algorithme dans lesmanuels syriens, qui utilisent la décompositionen facteurs premiers comme outil pour trouverle PGCD.La mise en perspective des choix entre lesdeux pays avec une étude de l’évolution historiquedes programmes français que nousconduisons par ailleurs (MAJAJ, à paraîtrea et b) montre que le système syrien est prochedes programmes français de l’époque desmathématiques modernes, tandis que leschoix faits en France lors de la réintroductionde l’Arithmétique dans les années quatrevingt-dixcorrespondent d’une part à un rejetde certains aspects des programmes précédentsavec une minoration des aspects théoriqueset d’autre part à une ouverture vers de nouvellesfonctions (culturelle, algorithmique)absentes des programmes syriens. Dans la suitede notre travail, nous nous intéressons à latransition entre le collège et le lycée en menantune étude exploratoire sur l’enseignement del’arithmétique en France en seconde. La disparitionde l’arithmétique dans les nouveauxprogrammes français de seconde en vigueurà la rentrée 2009 confirme que la place etrôle de l’arithmétique dans les programmesde l’enseignement secondaire français ne sontpas très assurés.87

REPERES - IREM. N° 79 - avril 2010L’ENSEIGNEMENT DEL’ARITHMETIQUE AU COLLEGE...Références :ABOU RAAD N. (2006), Le calcul algébrique en France et au Liban étude comparée de l’enseignementde la factorisation et des erreurs des élèves, Thèse de l’Université Aix- Marseille.ANSELMO B. ; BONNET M. ; COMBIER G. ; PLANCHETTE P. ; ZUCCHETTA H. (2004),De l’arithmétique au collège, IREM de Lyon.ARTAUD M. (1997), Introduction à l’approche écologique du didactique de l’écologie des organisationsmathématiques et didactiques, Actes de la IXe Ecole d’été de didactique des mathématiques, 99-139.BATTIE V. (2003a), Spécificité et potentialité de l’arithmétique élémentaire pour l’apprentissagedu raisonnement mathématique, Thèse de l’Université Paris 7.BATTIE V. (2003b) Le raisonnement en arithmétique : de l’analyse épistémologique à l’analysedidactique. Revue canadienne de l’enseignement des sciences, des mathématiques et destechnologies, 3.3, 363–386 ; Université de Toronto.DESTAINVILLE B. ; DUPUY- TOUZET S. ; DUCRET M. ; GIBERT J- M. VIET A. ; VINTERB. (2005), Pour un suivi en arithmétique de la Troisième à la Terminale, IREM de Toulouse.DOUADY R. (1986), Jeux de cadre et dialectique outil-objet, Recherches en Didactique des Mathématiques,n°7.2 pp. 5-31.MAJAJ M. (à paraître-a), Comparative study of the place of elementary number theory in programsand textbooks in the middle school between France and Syria, to appear in electronicproceedings of CERME 6, Lyon, 2009.MAJAJ M. (à paraître-b), Aperçu de l’évolution de l’enseignement de l’arithmétique en Francedepuis le début du XXe siècle, à paraître dans les Actes de la XV° école d’été de didactiquedes mathématiques, Clermont Ferrand, 2009.RAVEL L. (2002), Arithmétique en terminale S spécialité : quel(s) enseignement(s) ?, RepèresIREM n° 49, pp. 93-116.RAVEL L. (2003), Des programmes ... à la classe, Étude de la transposition didactique interne,Thèse de doctorat, Université Joseph Fourier, Grenoble I.MANUELS SCOLAIRES SYRIEN :CHAPIRON, G, MULET – MARQUIS, R Manuel Mathématique 6ème, (2002), l’établissementpublic pour les imprimés et les manuels scolaires.Manuel Mathématique 7ème, (2005), l’établissement public pour les imprimés et les manuels scolaires.Manuel Mathématique 8ème, (1983) 10 , l’établissement public pour les imprimés et les manuels scolaires.Manuel Mathématique 9ème, (2003), l’établissement public pour les imprimés et les manuels scolaires.MANUELS SCOLAIRES FRANCAIS :Manuel Mathématiques 6ième, Collection Triangle (2005), Edition Hatier, Paris.Manuel Mathématiques 5ième, Collection Triangle (2006), Edition Hatier, Paris.Manuel Mathématiques 4ième, Collection Triangle (2002), Edition Hatier, Paris.Manuel Mathématiques 3ième, Collection Triangle (2003), Edition Hatier, Paris.Programmes et documents d’accompagnement des programmes français :Programme de sixième, BO Hors série N°5, 9 septembre 2004.Programme de cinquième, BO Hors série N°5, 25 Aout 2005.Programme de quatrième, BO Hors série N°5, 25 Aout 2005.Ministre de la Jeunesse, de l’Education Nationale et de la recherche, Enseigner au collège mathématiques,Programmes et Accompagnement (Réimpression mars 2004).10 Il n’y a pas eu de nouvelle version de ce manuel au début desannées 2000 ; c’est donc la version datant de 1983 qui est restéeen usage dans les classes.88