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AnalyseDidier Müller, janvier 2012www.nymphomath.ch

LIMITES11. Limites1.1. Les limites dans la vie couranteVitesse instantanéeLa notion de vitesse, et en particulier la vitesse d'un objet à un instant précis, est,étonnamment, subtile et difficile à définir précisément. Considérez cette affirmation :« À l'instant où le cheval a franchi la ligne d'arrivée, il galopait à 64 km/h ». Commentpeut-on étayer une telle affirmation ? Une photographie ne serait d'aucune aide, puisquesur le cliché, le cheval est immobile ! Il y a une sorte de paradoxe à essayer de quantifierle mouvement à un moment précis puisqu'en se focalisant sur un seul instant on stoppele mouvement !Zénon d'Elée(Elée, env. −490 −Elée, env. −425)Pente d'une courbeen un pointRappelons que la vitesse est la distance parcourue ∆x divisée par le temps ∆t qu'il a fallupour la parcourir. Pour avoir la vitesse instantanée, on choisira t 0 . On ne peut pasprendre ∆t = 0, puisqu'on aurait une division par 0. La vitesse instantanée est donc unelimite.Les problèmes de mouvement étaient un des thèmes centraux de Zénon et d'autresphilosophes dès le 5 ème siècle avant Jésus Christ. L'approche moderne, rendue célèbrepar Newton, ne considère plus la vitesse à un instant donné, mais sur un petit intervallede temps contenant cet instant.On a vu dans le chapitre consacré aux droites comment calculer la pente d'une droite.Qu'en est-il pour une courbe ? Contrairement aux droites, la pente d'une courbe n'est pasconstante. Par exemple, quand les coureurs du Tour de France gravissent un col, lapente n'est pas toujours la même ; certains tronçons sont plus raides que d'autres.Comme la pente d'une droite est le déplacement vertical ∆y divisé par le déplacementhorizontal ∆x, la pente en un point précis d'une courbe sera obtenu en choisissant x 0 , autrement dit en prenant deux points « proches » sur la courbe. La pente d'unecourbe en un point est donc elle aussi une limite.La notion de limite est particulièrement utile pour étudier le comportement d'unefonction au voisinage d'un trou ou d'un bord de son domaine de définition.Voisinage d'un trouVoisinage d'un bord du domaineDidier Müller - LCP - 2012Cahier Analyse

2CHAPITRE 11.2. Exemple introductifsin xSoit la fonction f x=xdont nous allons étudier le comportement au voisinagede a = 0, car elle est indéfinie en ce point, puisqu'on aurait 0 0 .Méthode numériqueLa méthode numérique consiste à construire un petit tableau de valeurs.Dans notre cas, on se rapprochera de 0 en venant depuis la gauche (i.e. en prenant desnombres plus petits que 0) et depuis la droite (i.e. en prenant des nombres plus grandsque 0). D'après le tableau ci-dessous, il semblerait que la limite de f(x) quand x tendvers 0 est 1.Attention ! Dans les méthodes numériques, les angles sont toujours exprimés enradians !gauche a droitex –0.1 –0.01 –0.001 –0.0001 0 0.0001 0.001 0.01 0.1f(x) 0.99833 0.99998 0.99999 0.99999 indéfini 0.99999 0.99999 0.99998 0.998330xMéthode géométrique1Bs i n xADt a n xL'arc de cercle BC est une portion ducercle trigonométrique (de rayon 1).CNous allons prouver que le résultat de l'analyse numérique est exact parune méthode géométrique ad hoc.Regardons le dessin ci-contre.Aire du triangle OCB ≤ Aire du secteur OCB ≤ Aire du triangle OCD,d'où :12 ⋅1⋅sin x⋅12 ⋅ x2 1 ⋅1⋅tan x2Après simplifications :sin xxtan xAprès division par sin(x) (d'après le dessin sin(x) > 0) :Puis en inversant tout :1xsin x 1cos x1sin xcos xxComme on fait tendre x vers 0, cos(x) tend vers 1 et il résulte que :sin x1 1xOn vient de démontrer que, en venant depuis la droite (puisque l'angle xest positif), la limite de la fonction f(x) tend vers 1.On remarque rapidement que le résultat est le même en venant depuis lasin −x sin xgauche (i.e. x < 0), puisque = et cos(–x) = cos(x).−x xComme la limite à gauche est égale à la limite à droite, on dit que la limite existe etqu'elle est égale à 1.On l'écrit : limx 0sin x=1xRemarque importanteSi la limite à gauche est différente de la limite à droite, on dit que la limite n'existe pas.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012

LIMITES3Graphe desin xx, avec un trou en x = 01.3. Définition et notationsDéfinitionNotationsSoit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a. Elle peut ne pas êtredéfinie en a.La limite de f en a est le nombre vers lequel se rapproche la valeur de f(x) quand x serapproche aussi près qu'on veut de a, mais avec x ≠a.Il existe de nombreuses notations pour indiquer les limites à gauche et à droite. Voicicelle que nous utiliserons :Limite à gaucheLimite à droitelimx axaf x =L limx axaf x=LRappelons encore une fois que limx af x =L ⇔ limx axaf x=L et limx axaf x=L .Exercice 1.1Soit la fonction f(x) ={ – 1 si x 12 si x = 13 si x 1Donnez : a. limx 1x1f x b. limx 1x1f x c. limx 1f x d. f(1)Didier Müller - LCP - 2012Cahier Analyse

4CHAPITRE 11.4. Opérations sur les limitesSi f et g admettent des limites finies quand x a , avec a fini ou infini, alors :lim k⋅f x=k⋅lim f x , où k est un nombre réelx ax alim f xg x=lim f xlim g x (idem pour « – »)x ax ax alim f x⋅g x=lim f x⋅lim g xx ax a x alimx alim f xf xg x = x alim g xx anlim f x= n limx ax af xsi lim g x≠0x aOn va maintenant classer les limites en différentes catégories, puis on développera destechniques de résolution pour chacune de ces catégories. On cherchera d'abord deslimites quand x tend vers un nombre fini, puis quand x tend vers l'infini.1.5. Calcul de limites quand x → a, a finiLimites de fonctionscontinues en aIntroduisons d'abord une définition intuitive de la continuité :« Une fonction est continue dans un intervalle si on peut la dessiner d'un bout à l'autrede l'intervalle sans lever le crayon. »Si f est continue en a, la limite en a est égale à l'image de a.Exempleslim 3 x 2 x =3⋅5 2 5=80x 5limx 3sin x=sin 3 = 32Limite du quotientde deux fonctions1 er cas :dénominateur non nul2 ème cas :numérateur non nul etdénominateur nulSoit la fonction f x= N xD xSi lim N x=c 1 et lim D x=c 2 ≠0 , alors limx ax ax aSeule une des trois réponses suivantes est possible :1. limx a2. limx a3. limx af x=∞f x=−∞f x n'existe pas car limx axaf x≠limx axaf xf x= c 1c 2.Pour déterminer la bonne réponse, il faut donc comparer la limite à gauche et la limite àdroite. Si elles sont égales, la bonne réponse sera la 1. ou la 2. Si elles sont différentes,la bonne réponse sera la 3.Si le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0, on a une formeindéterminée.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012

LIMITES53 ème cas :numérateur etdénominateur nulsa. N(x) et D(x) sont des polynômesSi N(a) = 0, N(x) est divisible par (x–a) et si D(a) = 0, D(x) est aussi divisible par(x–a). On peut donc simplifier la fraction par (x–a).x 2 – 5 x6Exemple : limx 2 x 2 – x – 2 =lim x−2 x−3x 2 x−2 x1 =lim x−3x 2 x1 =−1 3b. N(x) et D(x) ne sont pas des polynômesDans certains cas on peut simplifier. x – 2Exemple : limx 4 x – 4 =limx 4 x – 2 x−2 x2 =limx 41 x2 =1 4Dans d'autres cas, il faut une autre méthode, par exemple numérique ou géométrique(voir l'exemple introductif).Nous verrons dans le chapitre 3, consacré aux dérivées, le théorème de l'Hôpital, quipourra être utilisé dans un pareil cas.Exercice 1.2Aide pour les ex. 13-16 : ab a – b=a – bRemarque utile pour lescalculsQuand x≈0, alors sin( x) ≈xet tan(x) ≈x.Attention, cela ne marche quequand x est proche de 0 !Aide pour les ex. 23-24 :comparer les limites à gaucheet à droiteCalculez, si elles existent, les limites suivantes :1. limx 0x 2 – 2 xxx 2 2 x – 154. limx – 5 x 2 8 x157. limx 1x 2 – 2 x1x –1x 2 – 3 x210. limx 2 x 2 – 4 x4x2 x – 113. limx 1 x – 116. limx 0x 2 x 2 1 – 1sin x –119. limx 1 x – 1tan3 x22. limx 0 3 x2 x 2 x – 12. limx – 1 x 3 1x 2 2 x – 155. limx 3 x 2 8 x15x 2 18. limx 2 ∣x 2 – 4∣x 2 – 5 x611. limx 3 2 x 2 – 6 x14. x 2 x – 2limx 1 x – 1sin 2 x17. limx 0 x20. limx 0∣x∣23. limx 0 xsin x2 x 2 x3 x 2 – 2 x23. limx 0 x1x 2 2 x – 156. limx−3 x 2 8 x15x 2 – 3 x29. limx 2 x 2 – 4 x4x2x 2 x – 212. limx 1 x – 1 2x – 515. limx 5 2 x –1 – 3sin 2 x18. limx 0 sin 3 x x21. limx 1 x – 1 2∣x−2∣24. limx 2 x 2 −3 x21.6. Calcul de limites quand x → ∞Principe du gâteaud'anniversaireQuand on divise un nombre fini par un nombre tendant vers l'infini, le résultat tend verszéro.Plus le nombre d'invitésest grand, plus la part degâteau est petite.Didier Müller - LCP - 2012Cahier Analyse

6CHAPITRE 1Limite d'unefonction polynômequand x → ∞Théorème 1En +∞ (respectivement –∞), toute fonction polynôme a la même limite que son terme dedegré le plus élevé.Démonstrationlim a n x n a n –1 x n– 1 a n –2 x n –2 a 1 xa 0 =x ∞limx ∞a n x n 1 a n– 1 1a x n 0 a n – 2 1x a 2n 0 a 1 1a nx n−1 0 a 0 1x a nn 0=lim a n x nx ∞Limite d'unefonction rationnellequand x → ∞Théorème 2En +∞ (respectivement –∞), toute fonction rationnelle a la même limite que le rapportdes termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.En effet, d'après le théorème 1 :a n x n a n– 1 x n– 1 a 1 xa 0 limx ∞ b m x m b m – 1 x m – 1 b 1 xb 0 =limx ∞a n{x nb m x m =0 si n ma nb nsi n = m∞ ou – ∞ si n mFormesindéterminées x 2 =∣x∣x si x0∣x∣ ={– x si x 0lim x 2 b xc =x ∞limx ∞∣ x b 2∣Refaites les deux exemplesci-contre en utilisant latroisième formule !Des expressions du type « 0 0 », « 0⋅∞ », « ∞ », « ∞−∞ » sont dites indéterminées.Lorsqu'un calcul de limites conduit à une forme indéterminée, on ne peut pas conclureimmédiatement ; il faut généralement faire quelques transformations en utilisant parexemple les formules que vous trouverez dans la marge.Exemplesa. lim x 2 4 x4 – x = lim x2 2 – x = lim ∣x2∣– x =x∞x∞x∞lim x2 – x = 2x∞b. lim x 2 −2 x42 x = lim x−1 2 32 x =x−∞x−∞limx−∞3 1x−12 2 x−1 2 x = lim ∣x−1∣1 3 2 x =x−∞ x−1 2lim ∣x−1∣2 x = lim −x12 x = lim x1 = –∞.x−∞x−∞x−∞0Exercice 1.3Calculez, si elles existent, les limites suivantes :2 x 2 – 3 x1. limx∞ 3 x 2 – 5 x13 x 2 – x12. limx−∞ x 3 x2 x 2 – x3. limx−∞ x2x 3 3 x 24. limx∞ x 2 – 1x 2 −5 x67. limx−∞ 2 x 2 −6 x x−1 25. limx∞ x 2 3 x x 2 −3−x8. limx−∞ xx 2 −4 x36. limx∞ 2 x 2 5 x 2 −4x39. limx∞ x110. lim x – x 2 1 11. lim 2 x x 2 1x∞x−∞Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012

LIMITES71.7. Une limite célèbreDans le chapitre consacré aux logarithmes, nous avions déjà vu cette limite célèbre, quiest la définition du nombre e (dont la valeur est 2.718281828459...) :xxlimx∞ x11 =e . De plus, on a aussi limx−∞ x11 =e .Où est la faute deraisonnement ?C'est ici l'occasion de remarquer que l'on peut facilement se tromper en faisant desraisonnements qui semblent justes. On pourrait en effet se dire que quand x tend versl'infini, 1/x tend vers 0, et qu'il reste alors 1 puissance infini, donc 1. Or, ce n'est pas laréponse exacte. Aussi est-il toujours prudent de vérifier sa réponse par une petiteanalyse numérique.Remarquez bien quequand x → ±∞, y → 0,puisque y= 1 x .1On a aussi : lim 1 yy =e .y 0En effet, en substituant y par 1 x, on retrouve la première limite.Exercice 1.4Il faut utiliser les opérationsdu § 1.4 et parfois travaillerpar substitution pour seramener à la définition de e.Calculez, si elles existent, les limites suivantes :x53 x1. limx∞ x11 2. limx∞ x11x4. limx∞ x1−17. limx∞ x3x1x−15. limx 01x1 – 4 x8. lim 13 tan 2 x cot 2 x x 03. limx∞ 1 2 xx6. limx∞1xxx1.8. Ce qu'il faut absolument savoirConnaître les définitions de limite, limite à gauche, limite à droite❏ oksin xSavoir prouver que lim =1x 0 x❏ okSavoir résoudre les types de limites vus dans ce chapitre❏ okDidier Müller - LCP - 2012Cahier Analyse

8CHAPITRE 1Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012

2. Continuité des fonctions2.1. Continuité en un pointCONTINUITÉ 9DéfinitionOn dit qu'une fonction f est continue en x = a si les trois conditions suivantes sontsatisfaites :- f(a) existe dans R ,- les limites à gauche et à droite existent dans R et sont égales,- les limites à gauche et à droite sont égales à f(a).Version courte, mais équivalente :f est continue en a si limx af x = f a .Où les fonctions ci-dessous sont-elles discontinues ?a. f x= x 2 – x – 2x – 2On remarque que f(2) n'est pas défini, ce qui entraîne que f est discontinue en 2.{x 2 – x – 2b. f(x) =si x≠2x – 21 si x=2Comme f(2) = 1, f est définie en 2, et limx 2f x ≠ f 2 .mais limx 2Donc, f est discontinue en 2.x 2 – x – 2=limx – 2 x 2 x – 2 x1=3 existe,x – 2{1si x≠0c. f(x) = x 2 1 si x=0Comme f(0) = 1, f est définie en 0, mais limx 0Aussi, f est discontinue en 0.f x =limx 01x 2 =∞ .d. f(x) = [x]La fonction partie entière f(x) = [x] présente une discontinuité en chaque valeurentière de x parce que lim [ x ] n'existe pas si n est un entier.x n2.2. Continuité sur un intervalleDéfinition graphique Donnons tout d'abord une définition graphique intuitive :« Une fonction f est continue si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon. »Didier Müller - LCP - 2010Cahier Analyse

10CHAPITRE 2Continuité à gauche etcontinuité à droiteExercice 2.1Exercice 2.2RappelContinuité sur unintervalleUne fonction est une règle quiassigne à chaque élément xd'un ensemble A exactementun élément, noté f(x), d'unensemble B. L'ensemble A estappelé le domaine dedéfinition de la fonction.Une fonction est continue à droite en un nombre a si limx axagauche en un nombre a si lim f x = f a .x axaf x = f a et continue àEsquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3, et qui estcontinue à gauche en 3.Un parking fait payer 2 francs pour la première heure (ou fraction d'heure) et 1 francpour chaque heure suivante jusqu'à un maximum journalier de 10 francs.a. Représentez graphiquement ce tarif de parking en fonction du temps.b. Remarquez les discontinuités de cette fonction et expliquez leur signification àquelqu'un qui met sa voiture dans ce garage.On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout pointde l'intervalle. Aux extrémités de l'intervalle, il faut comprendre continue par continue àdroite ou continue à gauche.Toutes les fonctions suivantes sont continues sur leur domaine de définition :- polynomiales (elles sont continues dans R )- rationnelles- racines- trigonométriques- trigonométriques réciproques (arcsin, arccos, arctan, arccot)- exponentielles- logarithmesAttention ! Une fonction continue sur son domaine de définition n'est pas forcémentcontinue dans R . Par exemple, tan(x) est continue sur son domaine de définition, maispas dans R .2.3. Opérations sur les fonctions continuesSoient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I ; soit un réel a ∈ I. Si lesfonctions f et g sont continues en a, alorsChacun de ces résultatsdécoule de la loi des limitescorrespondante(voir chapitre 1, § 1.4)1. λ·f est continue en a ( ∈R ),2. f + g est continue en a (idem pour « – »),3. f·g est continue en a,4.fgest continue en a si g(a) ≠ 0 et discontinue si g(a) = 0.5. Si une fonction g est continue au point a et une fonction f est continue au point g(a),alors f °g est continue en a.ln xarctan xOù la fonction f x=x 2 – 1est-elle continue ?La fonction y = ln(x) est continue pour x > 0 et y = arctan(x) est continue sur R . Ils'ensuit que la fonction ln(x) + arctan(x) est continue sur ]0 ; +∞[, d'après la règle 2.La fonction du dénominateur est polynomiale et donc partout continue. D'autre part,x 2 − 1 est nul quand x = 1 et x = −1.Finalement, f est continue sur les intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +∞[.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

CONTINUITÉ 11Exercice 2.3Expliquez pourquoi les fonctions ci-dessous sont discontinues pour la valeur de adonnée. Dessinez le graphe de ces fonctions.a. f(x) = x 2 – 1x1a = −1{x 2 −1b. f(x) =si x≠−1x16 si x=−1{x 2 −2 x−8c. f(x) =si x≠4x−43 si x=41−x si x≤2d. f(x) ={ x 2 −2 x si x2a = −1a = 4a = 2Exercice 2.4Expliquez pourquoi les fonctions ci-dessous sont continues en chaque point de leurdomaine de définition. Précisez ce domaine de définition.a. f x= x 4 176 x 2 x – 1b. f t=2t25 – t 2c. f x=e x sin 5 x d. f x=arcsin x 2 – 1e. f t=ln t 4 –1 f. f x=cose x 2.4. Deux théorèmes fondamentaux sur les fonctions continuesThéorème de BolzanoSi f est une fonction continue sur [a, b] telle que f(a) et f(b) ont des signes opposés, alorsil existe au moins un réel c dans l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que f(c) = 0.Moins formel :« Une fonction continue ne peut changer de signe qu'après s'être annulée. »Théorème de la valeur intermédiaireBernhard Bolzano(Prague, 5/10/1781 -Prague, 18/12/1848)Si f est une fonction continue sur [a, b] et f(a) ≠ f(b), alors, pour tout réel u strictementcompris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de l'intervalle ouvert ]a, b[ tel quef(c) = u.Le théorème de la valeurintermédiaire certifie qu'unefonction continue passe partoutes les valeurs intermédiairesentre les valeurs f(a) et f(b).Attention ! L'inverse n'estpas vrai ! En effet, pour unréel c strictement comprisentre a et b, il n'existe pasforcément un réel u = f(c) dansl'intervalle ]f(a), f(b)[.Didier Müller - LCP - 2010Cahier Analyse

12CHAPITRE 2Exercice 2.5Y a-t-il équivalence entre la propriété de la valeur intermédiaire et la continuité ?Autrement dit, est-ce que si une fonction satisfait la propriété de la valeur intermédiaire,cela signifie-t-il qu'elle est continue ? La réponse est non.{sin 1 Montrez que la fonction f(x) = x si x≠00 si x=0est un contre-exemple.Quand u = 0, on peut aussiutiliser le théorème deBolzano, qui est un casparticulier du théorème de lavaleur intermédiaire.Le théorème de la valeur intermédiaire est mis à contribution dans la localisation desracines des équations, ainsi que le montre l'exemple suivant :« Montrez qu'une racine de l'équation 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2 = 0 est située entre 1 et 2. »Posons f(x) = 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2. Nous sommes à la recherche d'une solution del'équation donnée, c'est-à-dire d'un nombre c situé entre 1 et 2 tel que f(c) = 0. Voilàpourquoi nous prenons a = 1, b = 2 et u = 0, en vue d'exploiter ce théorème. On a :f(1) = 4 − 6 + 3 − 2 = −1 < 0 et f(2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12 > 0Donc f(1) < 0 < f(2) et u = 0 est bien un nombre situé entre f(1) et f(2). De plus, f, étantune fonction polynomiale, est continue. Dans ces conditions, le théorème de la valeurintermédiaire affirme l'existence d'un nombre c entre 1 et 2 tel que f(c) = 0. Autrementdit, l'équation 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2 = 0 a au moins une racine dans l'intervalle ]1 ; 2[.Algorithme derecherche de zérosd'une fonctionLes algorithmes de recherchedes zéros d'une fonction sontétudiés en analyse numérique.L'algorithme le plus simple permettant detrouver un zéro d'une fonction est laméthode de dichotomie. On commenceavec deux abscisses a et b qui encadrentun zéro de la fonction. À chaque itération,on coupe l'intervalle en deux sousintervalles[a, c] et [c, b], c = (a + b)/2étant le milieu de a et b. On garde le sousintervallequi contient un zéro, puis onrecoupe en deux ce sous-intervalle, et ainside suite. L'intervalle encadrant le zérodevient ainsi de plus en plus petit.La méthode de dichotomie garantit laconvergence vers un zéro lorsque lafonction est continue.Étapes successives de la méthode de dichotomieavec comme intervalle initial [a 1; b 1].Exercice 2.6Montrez que la fonction sin(4x 4 +3x+2) a une racine comprise entre 0 et 1 2 , puiscalculez-la à 0.01 près.2.5. Ce qu'il faut absolument savoirConnaître la définition de la continuité en un pointConnaître la définition de la continuité à gauche, à droite, sur un intervalleReconnaître une fonction continueDire où une fonction est discontinueConnaître le théorème de BolzanoConnaître le théorème de la valeur intermédiaireConnaître la méthode de dichotomie❏ ok❏ ok❏ ok❏ ok❏ ok❏ ok❏ okCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

DÉRIVÉES133. Dérivées3.1. Un peu d'histoireIsaac Newton(Woolsthorpe, 25/12/1643 -Londres, 31/3/1727)Gottfried Wilhelm von Leibniz(Leipzig, 1/7/1645 -Hannover, 14/11/1716)Christiaan Huygens(La Haye, 14/4/1629 -La Haye, 8/7/1695)Isaac Newton est né le jour de Noël 1642, l'année de la mort de Galilée, à Woolsthorpe,petit bourg de la région de Lincoln, sur la côte est de l'Angleterre. Admis au TrinityCollege de Cambridge en 1661, il se familiarise avec les œuvres de Descartes, Galilée,Wallis et Isaac Barrow. Entre 1665 et 1666, il est contraint de quitter l'Université deCambridge qui ferme ses portes à cause de la peste qui sévit dans la région. De retour àWoolsthorpe, c'est au cours de cette parenthèse qu'il pose les fondements du calculinfinitésimal, de la nature de la lumière blanche et de sa théorie de l'attractionuniverselle. De retour à Cambridge en 1669, il succède à Isaac Barrow à la chaire demathématiques de l'Université, qu'il conservera jusqu'en 1695. En 1671, il conçoit luimêmeun télescope à miroir, exceptionnel pour l'époque, qui grossit 40 fois. Le 11janvier 1672, il est élu à la Royal Society de Londres. En 1687, Newton publie sonœuvre maîtresse, Principes mathématiques de philosophie naturelle, exposant sa théoriede l'attraction universelle. En 1693, il plonge dans une profonde dépression quimarquera la fin de sa période créatrice. Les Méthodes des fluxions, qu'il avait écrites en1671, ne seront publiées qu'en 1736, après sa mort. Newton y faisait alors naître lecalcul infinitésimal, en même temps que Leibniz dont le Calcul différentiel fut, lui,édité en 1686. À l'époque, les deux hommes s'étaient vivement opposés, chacunrevendiquant la paternité de la découverte. À la mort de Newton, le débat continua.Leibniz est né à Leipzig le 1er juillet 1646. Il est donc parfaitement contemporain àNewton. À quinze ans, maîtrisant les langues anciennes, il entre à l'université de Leipzigpour étudier le droit mais il y découvre Kepler, Galilée et Descartes, ce qui l'incite às'initier aux mathématiques. En 1663 il soutient une thèse sur le principed'individuation, part étudier les mathématiques à Iena, puis le droit à Altorf où il obtientun doctorat en 1667. En 1672, Leibniz rejoint une mission diplomatique à la cour deLouis XIV – pour convaincre le roi de conquérir l'Égypte. Là, il se lie avec les grandsesprits de l'époque, dont le mathématicien hollandais Christiaan Huygens (1629-1695),se plonge dans la lecture de Pascal et invente une machine à calculer. Leibniz est éblouipar les méthodes que lui dévoile Huygens ; au cours d'un voyage à Londres en 1673, ilrencontre des mathématiciens anglais à qui il montre ses premiers travaux et assiste àdes séances de la Royal Society dont il est élu membre étranger. De retour à Paris, ilretrouve Huygens qui l'encourage vivement à poursuivre ses recherches. À l'issue deson séjour parisien, il élabore le calcul différentiel. En 1684, il publie son Calculdifférentiel. Il fonde en 1700 l'académie de Berlin dont il est le premier président.Leibniz est aussi célèbre en tant que théologien et philosophe.D'autres grands noms sont liés à l'intégration. Citons entre autres Jacques Bernoulli(1654-1705), Jean Bernoulli (1667-1748) le frère de Jacques, Daniel Bernoulli (1700-1782) le fils de Jean, le marquis de l'Hôpital (1661-1704), Leonhard Euler (1707-1783), Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Pierre Simon de Laplace (1749-1827) etAugustin Cauchy (1789-1857).3.2. Définition de la dérivéeDéfinition 1f x 0 x – f x 0 Si la limite f ' x 0 = lim x 0 xde la fonction f. f est alors dite dérivable.existe, elle est appelée fonction dérivéeRemarque : ∆x peut être positif ou négatif. Si ∆x > 0 on parle de dérivée à droite ; si∆x < 0, on parle de dérivée à gauche. La fonction est dérivable si ladérivée à droite et la dérivée à gauche existent et si elles sont égales.Didier Müller - LCP - 2011Cahier Analyse

14CHAPITRE 3∆x est un accroissement(une variation) de lavariable x.f(x 0+∆x) – f(x) estl'accroissement de f .f x 0 x – f x 0 est xle taux d'accroissementmoyen.Quand ∆x → 0, on parlede taux de variationinstantané.Attention ! ∆x ne signifie pas ∆·x. Cela signifie « un petit accroissement de x ». On nepeut pas séparer le ∆ du x.InterprétationgéométriqueLa valeur f '(x 0) est la pente de la tangente à la courbe f(x) en x = x 0.De cette interprétation géométrique, on peut déduire que :Si f ' > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.Si f ' < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.Si f ' = 0 en un point, alors ce point est un extremum de la fonction ou un pointd'inflexion à tangente horizontale.minimum maximum points d'inflexion à tangente(extrema)horizontale (chaise)Dérivabilité etcontinuitéDéfinition 2NotationsSi une fonction f(x) est dérivable en tout point de l'intervalle I = ]a ; b[, elle est ditedérivable sur l'intervalle I.Il existe plusieurs notations pour désigner la dérivée d'une fonction y = f(x) :f '(x), f ', y', ẏ , dydxLa dernière notation a été introduite par Leibniz.Elle remplace parfois avantageusement les autres notations. En effet, dans de nombreuxcalculs, on est en droit de travailler comme s'il s'agissait d'un rapport banal, ce quidonne un aspect immédiat à certains résultats.Une fonction dérivable en un point est continue en ce point.Attention ! La réciproque est fausse : une fonction continue n'est pas forcémentdérivable. Par exemple la fonction y = |x| est continue mais pas dérivable en x = 0 (lesdérivées à gauche et à droite ne sont pas égales). Il en est ainsi pour toutes les fonctionspossédant des « pointes ».Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011

DÉRIVÉES15Exercice 3.1Sur le graphe de la fonction f(x) ci-dessous, indiquez les valeurs approximatives de xpour lesquelles :a. f(x) = 0 b. f ' (x) = 0 c. f ' (x) = 1 d. f ' (x) = –4 e. f ' (x) = – 1 2IndicationUtilisez l'interprétationgéométrique de la dérivée.Exercice 3.2Exercice 3.3Pour trouver f(x+∆x), il suffitde remplacer le symbole « x »par « x+∆x ».Exercice 3.4Esquissez le graphe de sin(x) et utilisez ce graphe pour décider si la dérivée de sin(x) enx = 3π est positive ou négative.En utilisant la définition 1 de la dérivée, trouvez algébriquement la dérivée f ' dea. f(x) = x 3 + 5 b. f(x) = 1 xc. f(x) = x d. f(t) = 3t 2 + 5tTrouvez la pente des tangentes à la parabole y = x 2 aux points A(1; 1) et D(−2; 4).Exercice 3.5Utilisez la définition 1 pour estimer numériquement la dérivée dea. f(x) = x x en x = 2b. f(x) = ln(cos(x)) en x = 4Travaillez toujours en radians !c. f(x) = sin(e x ) en x = 31Exercice 3.6 La position d'un mobile est donnée par l'équation du mouvement s = f(t) =1t , où test mesuré en secondes et s en mètres. Calculez la vitesse du mobile après 2 secondes.Didier Müller - LCP - 2011Cahier Analyse

16CHAPITRE 3Exercice 3.7Esquissez le graphe de la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous :a. b. c.d. e. f.Exercice 3.8En mettant en correspondance les courbes de f(x) et f ' (x) de l'exercice 3.7, remplissezles cases vides du tableau ci-dessous avec les réponses suivantes (il y a un intrus) := 0, = 0, = 0, < 0, > 0, ∞ , min ou maxf(a) décroît croît minimum maximumf ' (a)pointd'inflexionpt. d'infl. àtg. horiz.Exercice 3.9Exercice 3.10Exercice 3.11Exercice 3.12Exercice 3.13Dans une expérience de laboratoire, le nombre de bactéries après t heures est donné parn = f(t).a. Quelle est la signification de f ' (5) ? En quelles unités s'exprime f ' (5) ?b. Si la quantité de nourriture et d'espace n'est pas limitée, lequel des deux nombresf ' (5) et f ' (10) sera le plus grand ?a. Dessinez une courbe dont la pente partout positive croît continûment.b. Dessinez une courbe dont la pente partout positive décroît continûment.c. Dessinez une courbe dont la pente partout négative croît continûment.d. Dessinez une courbe dont la pente partout négative décroît continûment.Dessinez un graphe possible de y = f(x) connaissant les informations suivantes sur ladérivée :• f ' (x) > 0 pour 1 < x < 3• f ' (x) < 0 pour x < 1 ou x > 3• f ' (x) = 0 en x = 1 et x = 3a. Sur un même système d'axes, dessinez les graphes de f(x) = sin(x) et g(x) = sin(2x),pour x compris entre 0 et 2π.b. Sur un deuxième système d'axes identique au premier, esquissez les graphes de f ' (x)et g' (x) et comparez-les.Par des expériences, on peut constater que le chemin parcouru (l) par un corps en chutelibre est proportionnel au carré du temps écoulé :l(t) = g 2 t2 où g est la gravité terrestre (9.81 m/s 2 ).a. Quelle est la vitesse moyenne entre le moment t et le moment t + ∆t ?Quand ∆t → 0, la vitesse moyenne tend, par définition, vers la vitesse instantanée aumoment t.b. Quelle est la vitesse instantanée au moment t ?Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011

DÉRIVÉES173.3. La dérivée secondeComme la dérivée est elle-même une fonction (cf. ex. 3.7), on peut souvent calculer sadérivée. Pour une fonction f, la dérivée de sa dérivée est appelée dérivée seconde etnotée f ''.Que nous dit la dérivée seconde ?Rappelons que la dérivée d'une fonction nous dit si une fonction croît ou décroît.RemarqueOn peut aussi calculer ladérivée troisième, quatrième,etc. Cependant, elles ontmoins d'intérêt que lesdérivées première et seconde.Deux trucs mnémotechniquesSi f ' > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.Si f ' < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.Puisque f '' est la dérivée de f ' :Si f '' > 0 sur un intervalle, alors f ' est croissante sur cet intervalle.Si f '' < 0 sur un intervalle, alors f ' est décroissante sur cet intervalle.Ainsi la question devient : qu'indique le fait que f ' soit croissante ou décroissante ?Lorsque f ' est croissante, la courbe f se redresse : elle est convexe.Lorsque f ' est décroissante, la courbe f s'infléchit vers le bas : elle est concave.Pour se rappeler la différenceentre convexe et concave,penser qu'une courbe concave ala forme d'une caverne.Si la dérivée seconde estpositive, on peut imaginer que« la courbe sourit ».Inversement, quand elle estnégative, « elle tire la tronche ».Exercice 3.14Pour trouver les points d'inflexion (point noir sur la figure ci-dessus) de f(x), il fautposer f '' (x) = 0 et résoudre. Mais attention ! Il faudra vérifier que c'est bien un pointd'inflexion : f '' (x−ε) et f '' (x+ε) devront être de signe opposé.Pour la fonction f donnée ci-dessous, décidez où la dérivée seconde est positive et oùelle est négative.Didier Müller - LCP - 2011Cahier Analyse

18CHAPITRE 3Exercice 3.15Exercice 3.16Rappels de physiqueLa fonction vitesse est ladérivée de la fonction horaire(position). La fonctionaccélération est la dérivée dela fonction vitesse.Donnez trois moyens de faire la différence entre un minimum local d'une fonction f, unmaximum local et un point d'inflexion à tangente horizontale .Chacun des graphes ci-dessous montre la position de quatre wagonnets se déplaçant surune ligne droite en fonction du temps. Les échelles de tous les graphes sont les mêmes.Quel(s) wagonnet(s) a (ont) :a. une vitesse constante ?b. la plus grande vitesse initiale ?c. une vitesse nulle ?d. une accélération nulle ?e. une accélération toujours positive ?f. une accélération toujours négative ?x(I) (II) (III) (IV)xxxttttExercice 3.17(suite de l'ex. 3.3)Exercice 3.18Trouvez algébriquement la dérivée seconde dea. f(x) = x 3 + 5 en x = 1 b. f(x) = 1 xen x = 2c. f(x) = x en x = 1 d. f(t) = 3t 2 + 5t en t = –1Dessinez sur le graphe de la fonction f ci-dessous les « bouts de la fonction f » où f ≥ 0(en vert), f ' ≥ 0 (en rouge) et f '' ≥ 0 (en bleu).On se donne les abscisses suivantes : –2.25, –1.6, –1.2, –0.5, 0, 0.7, 1.55, 2.Dites pour lesquelles de ces abscisses…a. f et f '' sont non nulles et de même signe.b. au moins deux des valeurs de f, f ' et f '' sont nulles.Exercice 3.19a. Dessinez une courbe dont la première et la seconde dérivée sont partout positives.b. Dessinez une courbe dont la seconde dérivée est partout négative, mais dont lapremière dérivée est partout positive.c. Dessinez une courbe dont la seconde dérivée est partout positive, mais dont lapremière dérivée est partout négative.d. Dessinez une courbe dont la première et la seconde dérivée sont partout négatives.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011

DÉRIVÉES193.4. Dérivées de fonctions usuellesPour éviter de toujours recalculer les mêmes dérivées à partir de la définition 1, on peutconstruire une table des dérivées.Les tables ci-dessous regroupent les fonctions usuelles. a et n sont des constantes.f (x) f ' (x) f (x) f ' (x)a 0 sin(x) cos(x)x n n⋅x n– 1 cos(x) –sin(x)1112 x=xtan(x)cos 2 x =1tan2 xln(x)log a (x)2 x1x1x ln acot(x) − 1sin 2 x =−1−cot 2 xarcsin(x)1 – x 2e x e x arccos(x) − 1a x a x lna arctan(x)11 – x 211x 2|x| sgn(x) (x ≠ 0) arccot(x) − 11x 23.5. Règles de dérivationSoient f et g deux fonctions dérivables et λ un nombre réel. Les propriétés suivantesservent au calcul des dérivées :Les démonstrations de cespropriétés, longues etfastidieuses, découlent de ladéfinition 1.1. (f + g) ' = f ' + g' 2. (f – g) ' = f ' – g'3. (λ·f) ' = λ·f ' 4. f 'g = f ' g – f g 'g 25. (f·g) ' = f ' ·g + f·g' 6. g° f '=g ' ° f ⋅f 'La règle la plus difficile est la sixième. Elle concerne la dérivation de fonctionscomposées. Nous la traiterons en détails un peu plus loin.3 exemples de calculsde dérivées1. Dérivons h(x) = e x + x 3On a f(x) = e x , g(x) = x 3 et h(x) = f(x) + g(x).f 'g 'D'après la règle 1 : h' x=e x3 x 2sin x2. Dérivons h x=e xOn a f(x) = sin(x) , g(x) = e x et h x= f xg xcos x⋅e g x– sin x⋅e xD'après la règle 4 : h' x=e x 2f'g 2 f g 'cos x−sin x=e xDidier Müller - LCP - 2011Cahier Analyse

20CHAPITRE 33. Dérivons h x=x 2 ⋅3 xOn a f(x) = x 2 , g(x) = 3 x et h(x) = f(x)·g(x).f 'gD'après la règle 5 : h' x=2 x⋅3 xx 2⋅3 x ln3=x⋅3 x 2x ln 3fg'Exercice 3.20La règle 6 n'intervient dansaucun des ces calculs, car iln'y a pas de fonctionscomposées.Rappel sur lacomposition de fonctionsLes flèches représentent lesmachines (les fonctions). Pourobtenir le résultat, on remplacele carré représente par ce qui estau début de la flèche.Remarquez bien que l'ordredes opérations est l'inverse del'ordre d'écriture!3 exemples d'utilisationde la règle 6En anglais, la règle 6 s'appellethe chain rule.On peut aussi voir unecomposition de fonctionscomme l'emboîtement depoupées russes. On « dérivetoutes les poupées » del'extérieur vers l'intérieur.a, b, c, d sont des nombres réels. On donne f(x). Calculez f ' (x) pour les cas suivants :1. x+1 2. 2x 3. –3x+5 4. ax+b5. x 2 6. 4x 2 –5x–4 7. 2x 3 +2x+6 8. ax 2 +bx+c9. 0 10. ax 3 +bx 2 +cx+d 11. (x+5)(x–3) 12. (3x 2 +5)(x 2 –1)ax5x 2 – x513. (ax+b)(cx+d) 14.15.16.xx – 1x 2 – 2 x117. x 18.3 x 19.3 x 2 20.Envisageons les fonctions f(x) = 6x − 4 et g x = x . On peut les appliquer à la queueleu leu, par exemple : la fonction « f suivie de g ».Prenons un exemple : 5 → f → 26 → g → 26Pour x, on aura :x → f → 6x − 4 → g → 6 x – 4On écrira g f x=6 x – 4 ou g ° f x= 6 x – 4 .De même avec la « fonction g suivie de f » :x → g → x → f → 6 x – 4On écrira f g x=6 x – 4 ou f ° g x=6 x – 4 .1. Dérivons h x=sin x . Le schéma est x → f → x → g→ sin x .g ' ° fD'après la règle 6 : h' x=cos x⋅ 12 x2. Dérivons h x=e x2 . Le schéma est x → f → x 2 → g→ e x2 .g ' ° ff 'D'après la règle 6 : h' x= e x2⋅2 x3. Dérivons h x=ln∣cos3 x 2 ∣ .Le schéma est x → f → 3 x 2 → g→ cos3 x 2 → k→ ln∣cos3 x 2 ∣ .1D'après la règle 6 : h' x= ⋅−sin 3 x 2 ⋅6 x=−6 x tan 3 x 2 cos3 x 2 k ' °g ° ff 'g ' ° fRemarquez que l'on dérive les fonctions successivement de droite à gauche tout engardant intact « l'intérieur » des fonctions. On parle souvent de dérivée de l'intérieur.Pour se rappeler l'ordre de dérivation, il est utile quand on débute de faire le petitschéma fléché.f '1 xCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011

DÉRIVÉES21Exercice 3.21Rappelez-vous que l'erreur laplus courante dans le calculdes dérivées est l'oubli de ladérivée intérieure !a et b sont des nombres réels. On donne f(x). Calculez f ' (x) pour les cas suivants :1. x 2 5 x – 1 2.4.3 x – 1 2 3. x 2 2 x113 2 x – 12 x – 1 5. x2 –164 – x 6. (x 2 +5x–1) 57. (3x 2 –x–1)(2x–3) 3 8. (2x 2 –x–1) 3 9. (x+2) 3 x 210. sin(x) + cos(x) 11. tan(x) – x 12. sin(2x–1)13. sin 5 (4x) 14. sin x 15. cos 3 x16.1tan 2 x17. e 2x 18. e ax+b19. e sin(x) 20. e x sin(x) 21. cos(2x) e 4x22. ln(3x) 23. ln(sin(4x)) 24. ln(ln(x))25. ln(e x ) 26.33 x 2 – 2 x – 127. xtan x28. cos3 x 29.32 x1x31. arctan(2–x) 32. sin 2 x + cos 2 x 33.30. x 2 9x3e x – e – xe x e – x34. x 2 1x 35.3cos 2 x 3sin 2 x 36. arcsin(2x)37. x 2e 38. x x3.6. Théorèmes relatifs aux fonctions dérivablesThéorème de RolleMichel Rolle (1652-1719)est un mathématicienfrançais.Soit f : [a ; b] → R telle que :1. f est continue sur [a ; b]2. f est dérivable sur ]a ; b[3. f(a) = f(b).Alors il existe une valeur c dans l'intervalle ]a ; b[ telle que f ' (c) = 0.DémonstrationPuisque la fonction f est continue sur [a ; b], elle admet une valeur maximale M et unevaleur minimale m sur [a ; b]. Deux cas sont alors possibles :a. M = m. Dans ce cas, f est constante et on a f ' (x) = 0 pour tout x dans ]a ; b[.b. M > m. Dans ce cas, il existe un x tel que f(x) = M ou f(x) = m, avec x dans ]a ; b[.Pour fixer les idées, supposons que ce soit M : il existe donc une valeur c dansl'intervalle ]a ; b[ telle que f(c) = M. Comme M est un maximum, alors f '(c) = 0.❏Didier Müller - LCP - 2011Cahier Analyse

22CHAPITRE 3Théorème desaccroissements finis(aussi appelé théorème dela moyenne)Soit f : [a ; b] → R telle que :1. f est continue sur [a ; b]2. f est dérivable sur ]a ; b[.Alors il existe au moins une valeur c dans l'intervalle ]a ; b[ où :f b – f a= f ' cb – aA gauche :Illustration du théorème desaccroissements finisA droite :La fonction auxiliaire F(x)Voici une conséquence pratiquedu théorème des accroissementsfinis :si une voiture relie Zurich àBâle à une vitesse moyenne de112 km/h, alors il y a unmoment où la vitesseinstantanée de la voiture (lavitesse lue au compteur) estexactement de 112 km/h.Théorème deCauchyDémonstrationOn va utiliser le théorème de Rolle.f b – f aDéfinissons une fonction auxiliaire F x= f x− x−a .b – af b – f aLa dérivée de cette fonction F est F ' x= f ' x− .b – aF vérifie les trois hypothèses du théorème de Rolle. Donc il existe une valeur c dansf b – f al'intervalle ]a ; b[ telle que F'(c) = 0. Donc f ' c=b – a❏Ce théorème est aussi appelé « Théorème des accroissements finis généralisé ».Soient f et g deux fonctions continues sur [a ; b], dérivables sur ]a ; b[. Supposons queg(a) ≠ g(b) et que g' ne s'annule pas sur ]a ; b[.f b – f aAlors il existe une valeur c dans l'intervalle ]a ; b[ telle que :g b – g a = f ' cg ' cDémonstrationLa démonstration est analogue à celle du théorème des accroissements finis, en posantcomme fonction auxiliaire : F(x) = [g(b) – g(a)]f(x) – [f(b) – f(a)]g(x).Augustin Louis Cauchy(Paris, 21/8/1789 -Sceaux, 23/5/1857)La dérivée de cette fonction F est F'(x) = [g(b) – g(a)]f '(x) – [f(b) – f(a)]g'(x).F vérifie les trois hypothèses du théorème de Rolle. Donc, il existe une valeur c dansl'intervalle ]a ; b[ telle que F'(c) = 0. Donc [g(b) – g(a)]f '(x) = [f(b) – f(a)]g'(x), ce quif b – f aimplique bien queg b – g a = f ' cg ' c .❏Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011

DÉRIVÉES23Règle de l'HôpitalSoient f et g deux fonctions telles que :1. lim f x =lim g x=0x ax a2. il existe un voisinage V de a tel que f et g sont dérivables dans V\{a}.3. g' ne s'annule pas dans V\{a}4.f ' xlimx a g ' xexiste.Alors :limx af xg x =limx af ' xg ' xDémonstrationGuillaume François AntoineMarquis de l'Hôpital(Paris, ?/?/1661 -Paris, 2/2/1704)Choisissons x ≠ a arbitraire dans V. En appliquant le théorème de Cauchy, nous avons :f x− f ag x−g a = f ' , où ξ est un nombre compris entre a et x.g ' f xMais par la condition 1, on sait que f(a) = g(a) = 0. Par conséquent :g x = f ' g ' Si x → a, alors ξ tend aussi vers a, puisque ξ est compris entre x et a.En outre, si limx af ' x=A , limg ' x af ' g ' Par conséquent, il est évident que : limx aet en définitive : limx af xg x =limx af ' xg ' x .existe et est égale à A.f xg x =lim af ' g ' =limx af ' xg ' x =A ,❏Remarque importanteLa règle de l'Hôpital est aussi valable si a = ±∞, ou si lim f = ±∞ et lim g = ±∞.Utilisation de la règle del'HôpitalOn peut au besoin réitérer ceprocessus plusieurs fois.Exemplessin 2 xCalculons limx 0 xe xCalculons limx 0 x 2La règle de l'Hôpital permet de remplacer une limite par une autre qui peut être plussimple. Cette règle s'utilise en trois étapes :f x1. Vérifier que est une forme indéterminée ( 0 g x 0 , 0·∞ ou ∞ ).Si ce n'est pas le cas, on ne peut pas utiliser la règle de l'Hôpital.2. Dériver f(x) et g(x) séparément.3. Calculer limx aSolutionsf ' xg ' xPuisque lim sin 2 x=0 et lim x=0 , on a bien une forme indéterminée.x 0x 0La règle de l'Hôpital peut s'appliquer : limx 0Ici, nous avons lim e x =1 et lim x 2 =0 .x 0x 0limx 0sin 2 x=limx x 02cos 2 x=2 .1e x2n'est donc pas une forme indéterminée. La solution est +∞.xSi on avait appliqué (à tort) la règle de l'Hôpital, on aurait obtenu :e xlimx 0 x 2=lime xx 0 2 x =lim e xx 0 2 =1 2 .Didier Müller - LCP - 2011Cahier Analyse

24CHAPITRE 3Exercice 3.22Exercice 3.23La règle de l'Hôpital ne s'applique pas au calcul des limites ci-dessous, bien que cellesciexistent. Expliquez pourquoi et calculez ces limites par une autre méthode.sin 1 xxsin xa. limx ∞ xb. limx 03 xx 2 1c. limx 0Calculez les limites suivantes, si elles existent, en utilisant la règle de l'Hôpital.N'oubliez pas de d'abord contrôler si vous avez le droit d'utiliser cette règle !1xa. limx 1c. limx 0x 2 2 x−3x−1xxsin x ln x−1e. limx e x−eg.limx 2sin xi. limx 0 xb.x 5 −2 x 4 x 3 2 x 2 −4 x2limx 1 x 3 −3 x2d. limx 1 1 – xtan x2 f. limx ax m −a mx n n(m ≠ n)−a1−sin xsin a x−sin b xcot 2 x h. limx 0 sin a xsin b xj. limx 1x−1x 3 −2 x 2 x(a ≠ −b)3.7. Ce qu'il faut absolument savoirConnaître la définition de la dérivée en tant que limiteComprendre l'interprétation géométrique de la dérivéeConnaître les dérivées des fonctions usuellesConnaître les six règles de dérivation par cœurPouvoir dériver n'importe quelle fonctionConnaître le théorème de l'Hôpital et savoir l'appliquer❏ ok❏ ok❏ ok❏ ok❏ ok❏ okCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011

APPLICATIONS DES DÉRIVÉES254. Applications des dérivées4.1. Calculs de tangentes à des courbesOn cherche parfois à connaître l'équation d'une droite tangente à une fonction.Rappels sur les droitesRappelons qu'une droite a pour équation y = mx + h, où m est la pente de la droite.Il est aussi utile de savoir qu'une droite de pente m passant par le point A(x 0 ; y 0 ) a pouréquation y – y 0 = m(x – x 0 ).Rappelons enfin que f ' (a) donne la pente de la tangente à la courbe f(x) en x = a.Cas où le point detangence est connuExempleSi le point de tangence T(x T ; y T ) est donné, le problème est simple à résoudre.1. Calculer m = f ' (x T ). C'est la pente de la tangente.2. Introduire les coordonnées du point de tangence (x T ; y T ) dans l'équationy – y T = m(x – x T ).3. Simplifier cette équation pour en obtenir une de la forme y = mx + h.Soit la fonction f x=3 x et le point T(3; 3). Donnez l'équation de la tangente à lacourbe passant par le point T.Le point T appartient à la courbe ( f x=3⋅3=3 ). C'est donc le point de tangence.La numérotation correspond àcelle du plan de résolution.1. f ' x= 32 x ⇒ f ' 3=1 2 =m2. y – 3= 1 2 x – 33. y= x 2 3 2Exercice 4.1Pour les fonctions f suivantes, donnez l'équation de la tangente au graphe de f en x T :a. f x=5 x 2 – 6 x2 x T = 1 b. f x= x x T = 4c. f x= 3 x – 25 x1x T = 0Didier Müller - LCP - 2012Cahier Analyse

26CHAPITRE 4Cas où le point detangence n'est pasconnuSi le point A(x 0 ; y 0 ) n'est pas le point de tangence, le problème est un peu pluscompliqué. Il faut d'abord trouver x T, l'abscisse du point de tangence.1. Calculer f ' (x).2. Poser y 0 – f (x T) = f ' (x T )(x 0 – x T) et résoudre pour trouver x T .3. y T = f (x T ).4. m = f ' (x T).5. Introduire les coordonnées du point de tangence (x T ; y T) dans l'équationy – y T = m(x – x T).6. Simplifier cette équation pour en obtenir une de la forme y = mx + h.L'équation du point 2 provient de y – y T = m(x – x T). En effet, m = f '(x T ) et comme lepoint A appartient à la droite, ses coordonnées doivent satisfaire l'équation de celle-ci.ExempleLa numérotation correspond àcelle du plan de résolution.Soit la fonction f x= x 39et le point A(1; -3).Donnez l'équation de la tangente à la courbe passant par le point A.1. f ' x= x23 .2. – 3– x 3T9 = x 2T3 1 – x T . En développant, on trouve3. y T = f (3) = 34. m = f ' (3 ) = 9/3 = 35. y − 3 = 3(x − 3)6. y = 3x − 63 2T xTPar tâtonnement, on trouve x T = 3.2x− 3 − 27 = 0 .Exercice 4.2Pour les fonctions f suivantes, donnez l'équation de la tangente passant par le point A :a. f x= x 2A(–1 ; –3)5b. f(x) = 2·ln(x) A(0 ; –4)c. f(x) = e x A(0 ; 0)Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012

APPLICATIONS DES DÉRIVÉES27Exercice 4.3Sur l'écran du jeu vidéo que montre la figure ci-dessous, on peut voir des avions quidescendent de gauche à droite en suivant la trajectoire indiquée et qui tirent au rayonlaser selon la tangente à leur trajectoire en direction des cibles placées sur l'axe Ox auxabscisses 1, 2 , 3 et 4.On sait que la trajectoire de l'avion a pour équation y= 2 x1 .xa. La cible n o 4 sera-t-elle touchée si le joueur tire au moment où l'avion est en (1 ; 3) ?b. Déterminez l'abscisse de l'avion permettant d'atteindre la cible n o 2.Exercice 4.4On veut prolonger un segment de parabolepar deux droites, de sorte que la fonction fobtenue soit partout dérivable (voir dessinci-contre).Complétez la formule ci-dessous avec leséquations des droites :f(x) ={..................... si x– 1x 22 – 2 x si – 1x3..................... si x3Exercice 4.5RappelAngle entre deux droitesde pentes m 1 et m 2 :tan =∣ m 2 – m 11m 1 m 2∣L'angle sous lequel se coupent les graphes de deux fonctions f et g en leur pointd'intersection I est l'angle que forment leurs tangentes au point I.Trouvez l'angle d'intersection des graphes des fonctions f et g suivantes :a. f(x) = x 2 g(x) = x 3b. f(x) = x 2 g x= x 24 3c. f(x) = sin(x) g(x) = cos(x)0 ≤ x ≤π2Didier Müller - LCP - 2012Cahier Analyse

28CHAPITRE 4Exercice 4.6Soit f x= 1 xa. Esquissez le graphe de f(x) pour x > 0.b. Soit un point A sur le graphe de f (d'abscisse supérieure à 0). Calculez l'aire dutriangle OAB, où O est l'origine et B est le point d'intersection de la tangente augraphe de f en A avec l'axe horizontal.Exercice 4.7On donne la fonction f ( x)=ax − 2.8 − bxCalculez a et b de telle manière que le graphe de f passe par le point 1; 1 3 tangente au graphe de f au point (2 ; f(2)) ait une pente égale à 7 2 .et que la4.2. Problèmes de taux d'accroissementExercice résoluSolutionDans ce genre de problème, lanotation de Leibniz est trèspratique.Cela peut paraître étrange, maison peut faire comme si cesdérivées étaient des fractions !Le modèle de résolutionci-contre est applicable à tousles exercices qui suivent.Une brèche s'est ouverte dans les flancs d'un pétrolier. Supposons que le pétroles'écoulant du tanker s'étend autour de la brèche selon un disque dont le rayon augmentede 2 m/s. À quelle vitesse augmente la surface de la marée noire quand le rayon de lanappe de pétrole est de 60 m ?Soit A l'aire du disque (en m 2 ), r le rayon du disque (en m) et t le temps écoulé depuisl'accident (en secondes) .On va utiliser la relation suivante :dAdt cherché= dAdr àcalculer⋅ drdtdonnéLe taux d'accroissement du rayon est dr =2 m/s (voir la donnée).dtIl faut maintenant exprimer A par rapport à r pour pouvoir calculer dAdr .L'aire du disque A est donnée par la formule : A = πr 2 .En dérivant A par rapport à r, on obtient : dAdr =2r . Comme r = 60, dAdr =120 .On veut le taux d'accroissement de l'aire polluée par rapport au temps, c'est-à-dire dAdt.D'après la relation de départ dAdt = dAdr ⋅drdA, on trouve quedt dr =120⋅2=754 m2 /s.Exercice 4.8Exercice 4.9Exercice 4.10a. Si les arêtes d'un cube de 2 cm de côtés croissent de 1 cm/min, comment le volumecroît-il ?b. Si l'aire d'une sphère de 10 cm de rayon croît de 5 cm 2 /min, comment le rayon croîtil?c. Soit un cône dont le rayon de la base et égal à la hauteur. Si le volume de ce cônehaut de 10 cm croît de 15 cm 3 /min, comment la hauteur croît-elle ?À l'altitude de 4000 pieds, une fusée s'élève verticalement à une vitesse de 880 pieds parseconde. Une caméra au sol, située à 3000 pieds de la rampe de lancement, la filme.À quelle vitesse doit augmenter l'angle d'élévation de cette caméra pour qu'elle ne perdepas de vue la fusée ?Une échelle longue de 5 mètres est appuyée contre un mur. Quand l'extrémité posée surle sol est à une distance de 4 mètres du mur, l'échelle glisse à une vitesse de 2 m/s. Àquelle vitesse l'extrémité appuyée contre le mur glisse-t-elle alors vers le bas ?Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012

APPLICATIONS DES DÉRIVÉES294.3. Problèmes d'optimisationBeaucoup de problèmes pratiques conduisent à la détermination des valeurs maximaleset minimales prises par une quantité variable. Ces valeurs, qui sont les plus favorablesdans un contexte donné, sont appelées valeurs optimales. Déterminer ces valeursconstitue un problème d'optimisation.Plan de résolutionVoici la marche à suivre pour résoudre un problème d'optimisation :1. Exprimer la quantité variable Q à rendre optimale (maximale ou minimale) commefonction d'une ou de plusieurs variables.2. Si Q dépend de plus d'une variable, disons n variables, trouver (n–1) équations liantces variables.3. Utiliser ces équations pour exprimer Q comme fonction d'une seule variable etdéterminer l'ensemble D des valeurs admissibles de cette variable.4. Calculer les extrema de Q (sans oublier de contrôler ce qui se passe aux bords de D).Il faut donc dériver Q par rapport à la variable utilisée et poser Q' = 0.5. Vérifier le résultat : a-t-on bien trouvé l'optimum cherché ?Premier exemple deproblèmeOn dispose d'une corde d'une longueur L pour construire un enclos rectangulaire le longd'un mur rectiligne.abaQuelles dimensions faut-il donner à cet enclos pour que le pré qu'il délimite ait une airemaximale ?RésolutionLa numérotation correspond àcelle du plan de résolution.1. Soit A l'aire délimitée par l'enclos. On a évidemment : A = a·b2. L = 2·a + b ⇒ b = L – 2·a3. A = a·(L – 2·a) = a·L – 2·a 2L'aire A doit être positive, donc D(a) = [0 ; L 2 ].Sur le bord gauche de D, a vaut 0 ce qui correspond à une aire nulle.Sur le bord droit de D, a vaut L ce qui correspond à une aire nulle.24.dAda =L – 4a=0 ⇒ a= L 4 et b= L 25. Pour a = 0.25·L, on trouve une aire de 0.125 L 2 .Comparons ce résultat avec l'aire obtenue pour a = 0.24·L et a = 0.26·L. Dans lesdeux cas, on obtient une aire de 0.1248·L 2 . On a donc bien trouvé l'aire maximale.On aurait aussi pu calculer la dérivée seconde de A en a = 0.25·L, et étudier sonsigne. On a : d 2 Ada 2 =– 4 .La fonction A est partout concave (c'est une parabole), donc aussi en a = 0.25·L. Lerésultat est donc bien un maximum.Didier Müller - LCP - 2012Cahier Analyse

30CHAPITRE 4Deuxième exempleSoit la figure ci-dessous :Le polygone PQRS est un carré. Pour quelle valeur de α l'aire A est-elle maximum ?Trouvez la longueur du segment PS quand l'aire A est maximum.Résolution1. A = carré PQRS – (secteur OTP – triangle OPS)= sin 2 – 2 ⋅⋅12 – 1 2 cos⋅sin =sin2 – 2 1 cos⋅sin 22. rien à faire3. A=sin 2 – 2 1 2 cos⋅sin . D= [ 0; 2 ]4.dAd =2sin cos – 1 2 1 2 – sin2 cos 2 =sin 2 cos – sin 1−2sin 2 cf. formulaire dA=0⇔2cos=sin ⇔tan =2⇔=1.107 radians=63.345°d Sur le bord gauche de D (α = 0), l'aire vaut 0.Sur le bord droit de D ( = 2 ), l'aire vaut 1 – 4 ≅ 0.2146.dA5. Si α < 1.107,d 0 . Si α > 1.107,On a donc bien un maximum.dAd 0 .La réponse est donc : PS=sin =0.894Exercice 4.11Exercice 4.12Exercice 4.13Exercice 4.14Parmi tous les rectangles de périmètre 2p, quel est celui dont l'aire est maximale ?Quelle est son aire ?Vous disposez d'une plaque de carton carrée, de côté a. On vous demande de fabriquerune boîte à chaussures sans couvercle de volume maximum. Pour cela, vous découperezquatre carrés dans les coins de la plaque pour obtenir une croix, puis vous relèverez lesbords.Dimensionnez une boîte de conserve cylindrique d'un décimètre cube, l'objectif étantd'utiliser le moins de fer-blanc possible.Un fil de longueur L doit être coupé en deux parties de manière à pouvoir former untriangle équilatéral avec l'une et un carré avec l'autre. Comment faut-il couper ce fil pourque l'aire totale des deux figures construites soita. maximaleb. minimale ?Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012

APPLICATIONS DES DÉRIVÉES31Exercice 4.15Le gardien d'un phare (point A) doit rejoindre le plus rapidement possible sa maisoncôtière (point B). Il se déplace en canot à la vitesse de 4 km/h et à pied à la vitesse de 5km/h. Où doit-il accoster (point P) pour que le temps de parcours soit minimal ? La côteest supposée rectiligne.Exercice 4.16Exercice 4.17Exercice 4.18Pour simplifier, on admettraque la surface de la mer estplate...Exercice 4.19Une fenêtre romane est formée d'un rectangle surmonté d'un demi-disque. Supposonsque le périmètre p de la fenêtre soit donné.Calculez les dimensions de la fenêtre romane laissant passer le maximum de lumière.Dessinez cette fenêtre en prenant p = 7.14 mètres.On considère une famille de droites de pente négative passant par le point decoordonnées (3; 2).Pour quelle droite de la famille le triangle délimité par la droite et les axes decoordonnées a-t-il la plus petite aire ?À midi, un navire B est repéré à 40 km à l'est d'un navire A. A se déplace à la vitesse de20 km/h dans la direction 30 o E, tandis que B se dirige à la vitesse de 10 km/h dans ladirection 30 o W (les angles sont mesurés avec la direction N).À quelle heure les navires seront-ils le plus proche l'un de l'autre ?Quelle sera alors la position du navire B par rapport à A ?On fabrique un cornet de forme conique enrejoignant les bords rectilignes d'un secteurcirculaire d'angle φ et de rayon r (voir cicontre).Quel est le volume du cornet de capacitémaximale ?Formules pour le cônes est l'apothème du cône, θ l'angle ausommet, r le rayon de la base, h la hauteuret φ l'angle de développement.A lat =r sA tot =r rsV = 1 3 r2 hsin 2 = r s=2sin 2Didier Müller - LCP - 2012Cahier Analyse

32CHAPITRE 44.4. Méthode de Newton-RaphsonEn analyse numérique, la méthode de Newton-Raphson, est un algorithme efficacepour approcher un zéro d'une fonction. De manière informelle, le nombre de décimalescorrectes double à chaque étape.Partant d'une valeurapproximative raisonnable d'unzéro x 0 d'une fonction f, onapproche la fonction par satangente au point (x 0 ; f(x 0 )).Cette tangente est une fonctionaffine dont on sait trouverl'unique zéro (que l'on appellerax 1 ). Ce zéro de la tangente seragénéralement plus proche du« vrai » zéro de la fonction (a).On recommence les mêmescalculs en partant cette fois dex 1 , ce qui va nous donnerl'abscisse x 2 , etc.Par récurrence, on définit la suite x n par : x n1 =x n – f x n. En principe, cette suite vaf ' x n converger vers a.ExerciceRetrouvez la valeur de x n+1 enpartant de l'équation de la droitey−y 0 = m(x−x 0)Si la fonction présente un extremum local, il y a un risque que la méthode ne convergepas, car la valeur de la dérivée est nulle en un extremum et le nouveau point à l'infini.Exemple Cherchons un zéro de la fonction f x=cos x – x 3 .La dérivée est f ' x=– sin x – 3 x 2 .Nous savons que le zéro se situe entre 0 et 1. Prenons comme valeur de départ x 0 = 0.5.x 1 =x 0 – f x 0f ' x 0 =0.5 – cos0.5– 0.5 3– sin 0.5 – 3⋅0.5 2=1.11214x 2 =x 1 – f x 1cos1.11214 – 1.112143=1.11214 –f ' x 1 – sin 1.11214 – 3⋅1.11214 =0.909672x 3 =x 2 – f x 2f ' x 2 =0.90967 – cos0.90967 – 0.90967 3– sin 0.90967 – 3⋅0.90967 2=0.86626x 4 =x 3 – f x 3f x=cos x – x 3 f ' x 3 =0.86626 – cos0.86626 – 0.86626 3– sin 0.86626 – 3⋅0.86626 2=0.86547x 5 =x 4 – f x 4cos0.86547 – 0.865473=0.86547 –f ' x 4 –sin 0.86547 – 3⋅0.86547 2=0.86547Après cinq itérations, les cinq premiers chiffres après la virgule sont déjà exacts.Exercice 4.20Cherchez le zéro de la fonction e x + sin(x) − 3.4.5. Ce qu'il faut absolument savoirCalculer une tangente à une courbeConnaître la notation de Leibniz pour les dérivéesRésoudre un problème de taux d'accroissementConnaître la démarche pour résoudre un problème d'optimisationConnaître la méthode de Newton-Raphson❏ ok❏ ok❏ ok❏ ok❏ okCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012

ÉTUDE DE FONCTIONS 335. Étude de fonctions5.1. AsymptotesAsymptote verticaleAsymptote affineRemarqueSi m = 0, l'asymptote esthorizontale.Il faut donc commencer parcalculer m. Si m tend versl'infini, il n'y a pasd'asymptote affine.La droite x = a est dite asymptote verticale (A. V.) de la fonction f si l'une au moinsdes conditions suivantes est vérifiée :limx axaf x=∞ (ou –∞ )limx axaUne A. V. ne peut exister que si la fonction est discontinue en x = a.f x=∞ (ou –∞ )La droite d'équation y = mx + h est une asymptote affine de la courbe représentative dela fonction f silimx∞[ f x – mxh]=0 (propriété analogue en –∞ )Les valeurs m et h sont calculés avec les formules suivantes :m= limx∞Attention !f xxh= lim [ f x−m x] (idem en –∞ )x∞L'asymptote affine n'est pas forcément la même en +∞ et en –∞. Il fautdonc étudier les deux cas.Ci-dessous, le graphe de la fonctionx 2 – 4(en bleu) et une asymptote affine (en vert).x 3, qui possède deux asymptotes verticalesRemarquez que la fonction est discontinue en x = –2 et x = 2.5.2. Points fixesSoit E un ensemble et f : E E une fonction. On dit que x∈E est un point fixe de fsi f(x) = x.Didier Müller - LCP - 2011Cahier Analyse

34CHAPITRE 55.3. Croissance et concavité (rappels)Le signe de la dérivée d'une fonction f renseigne sur sa croissance et sa décroissance.Si f ' > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.Si f ' < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.La dérivée seconde f '' renseigne sur la concavité de la fonction.Si f '' > 0 sur un intervalle, alors f est convexe sur cet intervalle.Si f '' < 0 sur un intervalle, alors f est concave sur cet intervalle.Lorsque f ''(c) = 0, alors il y a un point d'inflexion en c.Dérivée nulleOn sait, d'après le chapitre sur les dérivées, que lorsque f '(c) = 0, on a, en c, soit unminimum, soit un maximum, soit un point d'inflexion à tangente horizontale.Pour déterminer dans lequel des trois cas on se trouve, trois méthodes sont possibles :1. Étudier la valeur de la fonction f(x) dans le voisinage de c.2. Étudier le signe de la dérivée f '(x) dans le voisinage de c.3. Calculer f ''(c).Les quatre tableaux suivants montrent tous les cas possibles.x c–ε c c+ε x c–ε c c+εf(x) f(c–ε)>f(c) f(c) f(c+ε)>f(c) f(x) f(c–ε)

ÉTUDE DE FONCTIONS 355.4. MéthodeL'étude d'une fonction f comprend huit étapes. Vous trouverez au § 5.5 un exemple qui vous servira d'aide-mémoire.1. Ensemble de définition2. Parité3. Signe de la fonction4. Asymptotes verticales, trous5. Asymptotes affines6. Croissance et points critiquesDéterminer le domaine D où la fonction f(x) est définie.Voir si la fonction est paire, impaire, périodique ou rien du tout. Celapermet, si la fonction est « agréable », de gagner du temps par la suite.La fonction f est paire si f(x) = f(–x), et impaire si f(x) = –f(–x), ∀ x.Chercher les zéros, puis faire un tableau pour voir où la fonction estnégative, positive ou nulle.Calculer la ou les asymptotes verticales et trouver les éventuels trous.Calculer la ou les asymptotes affines et, si demandé, trouver le positionnementde la courbe par rapport à ces asymptotes.Un point c de l'ensemble de définition est un point critique si f '(c) = 0 ousi f '(c) n'existe pas.Calculer la dérivée et chercher ses zéros. Faire un tableau pour voircomment la fonction croît. Identifier les minima, les maxima et les pointsd'inflexion à tangente horizontale (en utilisant une des trois méthodes du§ 5.3).7. Concavité et points d'inflexion8. Représentation graphiqueChercher la concavité de la fonction et les points d'inflexion. Pour cela,calculer la dérivée seconde si elle n'est pas trop compliquée (cetteméthode est la seule qui garantit de trouver tous les points d'inflexion).Faire un tableau. Calculer les pentes des tangentes aux points d'inflexion.Dessiner la courbe en utilisant les renseignements glanés aux étapes 1 à 7.Faire un grand dessin où l'on représente le graphe de la fonction, lesasymptotes et les points particuliers.5.5. Un exemple completÉtudions la fonction f x= x – 1 . 2x31. Ensemble de définition L'ensemble de définition de f est D = R \ {1}.2. ParitéSi la fonction est paire ou impaire, onpeut alors n'étudier que le côté positif.Le côté négatif se déduira du côtépositif.f est paire si f(x) = f(–x). Est-ce le cas ?f – x= – x3 – x – 1 2=– x3 x1 ≠ f x .2f est impaire si f(x) = – f(–x). Est-ce le cas ?− f – x=− – x3 x1 2 = x 3 x1 2 ≠ f x .f n'est donc pas paire.f n'est donc pas impaire.En fait, puisque le domaine de définition D n'est pas symétrique, il estévident que la fonction ne peut être ni paire, ni impaire.Didier Müller - LCP - 2011Cahier Analyse

36CHAPITRE 53. Signe de la fonction Cherchons d'abord le(s) zéro(s) de f :f x=0 ⇒x 3 x –1 2=0 ⇒ x3 =0 ⇒ x=0 .Le signe de la fonction est donné par le tableau suivant (dans la premièreligne, on met les valeurs de x trouvées aux étapes 1 et 3) :x < 0 0 ] 0 ; 1 [ 1 > 1x 3 – 0 + +(x – 1) 2 + + + +f(x) – 0 + +4. Asymptotes verticales (A.V.),trousOn peut s'aider du tableau de signes del'étape 3 pour déterminer le signe del'infini.Les asymptotes verticales, s'il y en a, se trouvent aux abscisses trouvées àl'étape 1. Il s'agit de vérifier que ce sont bien des asymptotes verticales etnon pas des trous.limx 1x1f x=∞ etlimx 1x1f x=∞Si on avait un trou, on trouverait que la limite à gauche est égale à lalimite à droite et que ces limites seraient égales à un nombre.5. Asymptotes affines (A.A.)Du côté de +∞Une asymptote affine est de la forme y = m·x + h. On va analyser ce quise passe en –∞ et en +∞.m= limx∞f x= limx x∞x 2 x−1 2 = limx ∞x 2x 2 −2 x1 = lim x 2x ∞ x =1 2xh= lim [ f x−m x]= limx∞x ∞ 3 x−1 2−x = lim 2 x 2 −xx∞ x 2 −2 x12 x 2= limx∞ x =2 2Du côté de +∞, l' A.A. est donc y = x + 2.Du côté de –∞Idem que pour +∞ (le signe ne change rien).6. Croissance et points critiquesf ' x= x2 x – 3 x – 1 3 s'annule en 0 et 3.Les points du graphe dont les abscisses sont des points critiques de f sontdonc (0 ; 0) et (3 ; 274 ).La croissance de f est donnée par le tableau suivant (dans la premièreligne, on met les valeurs de x trouvées aux étapes 1 et 6) :x 0 1 3f '(x) + 0 + – 0 +f(x) 0 pt. d'infl.à tg. hor.274minimumCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011

ÉTUDE DE FONCTIONS 377. Concavité et points d'inflexionf ' ' x=6 x x – 1 4 s'annule en 0.La concavité de f est donnée par le tableau suivant (dans la premièreligne, on met les valeurs de x trouvées aux étapes 1 et 7) :x 0 1f ''(x) – 0 + +f(x) ∩ 0 ∪ ∪pt. d'infl.Calcul de la pente de la tangenteau point d'inflexionIl y a un seul point d'inflexion en (0 ; 0).m= f ' x= 02 0 – 3 0– 1 2 =0 1 =0(on savait déjà d'après l'étape 6 que c'était un point d'inflexion à tangentehorizontale).8. ReprésentationgraphiqueOn trace d'abord lesasymptotes trouvées auxétapes 4 et 5.On place ensuite tous lespoints que l'on a trouvésaux étapes 3, 6 et 7.On trace enfin la courbed'après les indicesrécoltés aux étapes 2, 3, 6et 7. Les tableaux enparticulier sont d'une aidetrès précieuse.Il est conseillé de calculerd'autres points de lafonction et de les reportersur le dessin.Didier Müller - LCP - 2011Cahier Analyse

38CHAPITRE 5Exercice 5.1Étudiez les fonctions suivantes selon l'exemple du § 5.5. Vous trouverez des corrigés sur le site de ce cours.FonctionsrationnellesAutres types defonctions1. f x= – 3 x42 x32. f x= x 2 – 4 x – 52 x 2 – 4 x33. f x= x x – 32 x – 2 24. f x= x 3 2x 2 15. f x=1 – x 26. f x=e – x227. f x= 2 x 2 2 x – 1⋅e – 2 xaide : f ' ' x= – 83 x 2 – 12 x13 x 2 – 4 x3 364 – xaide : f ' ' x= x – 2 4aide : f ' ' x= 2 – x3 6 x 2 3 x – 2 x 2 1 3f ' ' s'annule en −0.8056, 0.38677, 6.418838. f x= ln x 2 12 x9. f x=e x – 5e x 1 http://ow.ly/5Hpp8Exercice 5.2Voici le graphe de la fonction f x=– x 4 4 x 3 x5 . Malheureusement, les axes ontdisparu. Remettez les axes et graduez-les (la graduation n'est pas la même sur l'abscisseet l'ordonnée).5.6. Ce qu'il faut absolument savoirTrouver les asymptotes d'une fonctionConnaître les huit étapes de la méthode par cœurMaîtriser parfaitement chaque étape de la méthode❏ ok❏ ok❏ okCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011

ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES 396. Étude de courbes paramétrées6.1. DéfinitionsRemarquesLa courbe (C) n’est pasnécessairement le graphed’une fonction ; c’estpourquoi on parle de courbeparamétrée et non pas defonction paramétrée.On peut parfois, en éliminantle paramètre t entre les deuxéquations, obtenir y commefonction de x, et ramenerl’étude de la courbe à celled’une courbe définie par unerelation y = h(x).Exercice 6.1Soit deux fonctions f et g définies sur le même sous-ensemble D⊂R . Le point M(t) decoordonnées (f(t) ; g(t)) décrit un sous-ensemble (C) du plan lorsque t varie dans unintervalle I.Une représentation paramétrique d’une courbe (C) est un système d’équations où lescoordonnées des points de la courbe sont exprimées en fonction d’un paramètre(souvent noté t, k, θ, …).(C) :{ x = f ty = g tCes équations sont appelées équations paramétriques de (C).On note parfois également{ x = xty = yt Si l’on veut que cette définition ait un sens, il faut que x(t) et y(t) existentsimultanément.C’est pourquoi le domaine de définition D de la courbe (C) est l’intersection desdomaines de définition D x et D y des fonctions x(t) et y(t). On a donc D=D x ∩D y .Soit a et b deux nombres réels. Trouvez le domaine de définition de la courbeparamétrée :{ x = t−ay = b−t6.2. Exemple de courbes paramétrées : figures de Lissajousfigures de Lissajous (ou courbesde Bowditch) sont de la forme :{x = asint y = b sin ntavec 0≤≤ 2et n≥1En électronique, on peut faireapparaître des figures de Lissajoussur un oscilloscope.Jules Antoine Lissajous(Versailles, 4/3/1822 -Plombières, 24/6/1880)Les{x = sin 5t , t∈[0; 2[y = cos3t Didier Müller - LCP - 2010Cahier Analyse

40CHAPITRE 66.3. AsymptotesAsymptote verticaleOn obtient une telle asymptote lorsque x tend vers une valeur finie a et ytend vers une valeur infinie.lim xt =a , avec a∈Rt t 0lim y t=±∞t t 0Asymptote verticale x = 1L’asymptote verticale est une droite qui a pour équation x = a.Si x(t) – a est positif, la courbe est à droite de l’asymptote, sinon elle est àgauche.La courbe coupe l’asymptote lorsque x(t) = a.Asymptote horizontaleCette fois, x tend vers l’infini et y tend vers une valeur finie b lorsque ttend vers t 0 .lim xt =±∞t t 0lim y t=b , avec b∈Rt t 0Asymptote horizontale y = 1.5Asymptote obliqueL’asymptote horizontale est une droite qui a pour équation y = b.Si y(t) – b est positif, la courbe est en dessus de l’asymptote, sinon elle esten dessous.La courbe coupe l’asymptote lorsque y(t) = b.Une asymptote oblique ne peut exister que si x et y tendent tous deux versl’infini lorsque t tend vers t 0 . Cette condition est nécessaire mais passuffisante.lim xt =±∞t t 0lim y t=±∞t t 0La droite y = mx + h est une asymptote oblique si :m=limt t 0yt xt∈ RAsymptote oblique y = −x − 1Si m = ∞, il n'y a pas d'asymptoteoblique.h=limt t 0 y t−m⋅x t ∈ RCes formules sont analogues à celles rencontrées au chapitre 5, page 33.La position de la courbe est donnée par le signe de y(t) – mx(t) – h.Si cette expression est positive, la courbe est en dessus de l’asymptote,sinon, elle est en dessous.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES 416.4. Dérivées et points particuliersDérivéesCalcul de dydxLes valeurs de t décrivant le domaine d’étude, on étudie, lorsque c’est possible, le signedes dérivées dx et dydt dt .Comme pour les fonctions d’une seule variable (voir chapitre 5), on présentera lesrésultats sous forme d’un tableau, qui est constitué de deux tableaux accolés, donnantles variations de x et y (voir § 6.6).Regardons deux points voisins de la courbe : M(t 0 ) et M(t 0 + ε). La droite passant parces deux points tend vers la tangente à la courbe au point M(t 0 ) lorsque ε tend vers zéro.La pente de la droite passant par M(t 0 ) et M(t 0 + ε) est :On peut écrire :m= y ' x = y ' tx ' tmt 0 ;= yt 0 – yt 0 xt 0 – xt 0 = yt 0 – y t 0 ⋅ x t 0 – x t 0 =yt 0 – yt 0 x t 0 – x t 0 dydonne la pente de ladxtangente à la courbe.Lorsque ε tend vers 0, la pente tend versdydt t 0= dydxdt t dx t 0 .0Points particuliersSi x’(t 0 ) ≠ 0 et y’(t 0 ) = 0, la courbe admet une tangente horizontale en M(t 0 ).Si x’(t 0 ) = 0 et y’(t 0 ) ≠ 0, la courbe admet une tangente verticale en M(t 0 ).Si x’(t 0 ) = 0 et y’(t 0 ) = 0, la courbe admet un point singulier en M(t 0 ).On pourra compléter le tableau des dérivées par une ligne donnant les valeurs depour les valeurs de t figurant déjà dans ce tableau.y ' tx' t6.5. MéthodeL’étude d’une courbe paramétrée comprend six étapes.1. Domaine de définition2. AsymptotesDéterminer le domaine D où la courbe est définie.Déterminer, s’il y en a, les A.V, les A.H et les A.O.3. Dérivées et tableau de variationCalculer dxdt , dydtet dy . Faire le tableau de variation.dx4. Points particuliers5. Intersection avec les axes6. Représentation graphiqueDéterminer, s’il y en a, les points à tangente verticale, les points àtangente horizontale et les points singuliers.Calculer la limite de la pente de la tangente aux points singuliers, i.e.m=limt adydx tTrouver les t qui satisfont x(t) = 0 et y(t) = 0.Dessiner la courbe en utilisant les renseignements glanés aux étapes 1 à 5.Il n’est pas interdit de calculer certains points de la courbe, afin de faireun dessin plus précis.Didier Müller - LCP - 2010Cahier Analyse

42CHAPITRE 66.6. Deux exemples completsPremier exempleÉtudions la courbe{x =y =t 2t – 1tt 2 – 11. Domaine dedéfinition2.1. Asymptoteverticale (A. V.)L’ensemble de définition de la courbe est D = R \ {−1 ; 1}.Il y a une A. V. quand t = −1, puisque{lim x t=− 1t−1 2{lim yt =−∞lim y t n 'existe pas, cart −1t−1t−1lim yt =∞t −1t−12.2. Asymptoteshorizontales (A. H.){ lim xt=∞t∞Quand t ∞ , il y a une A. H., cary t=0limt∞{ lim xt=−∞t−∞Quand t −∞ , il y a une A. H., cary t=0limt−∞2.3. Asymptotesobliques (A. O.)Il y a une A. O. quand t = 1, puisque{lim x t=−∞{limt 1x t n 'existe pas, cart1t 1lim x t=∞t 1t1{lim yt=−∞t 1lim y t n ' existe pas, cart1t 1lim yt=∞t 1t1Calcul de mCalcul de hm=limt 1h=limt 1tt 2 –1=limt 2 t 1t – 11t1=limt t 11tt 2 – 1 – 1 2 ⋅ t2t – 1 =limt 1tt1 =1 22t−t 2 t1 −t 3 −t 2 2 t=lim=2t 2 −1 t 1 2t 2 −112 limt 1−t 2 −2tt−1= 1 t−1t1 2 limt 1−t 2 −2 t= 1 t1 2 ⋅−3 2 =−3 4L’A. O. a donc pour équation y= 1 2 x – 3 4 .Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES 433. Dérivées et tableaude variationsdxdt=2t t – 1 – t2t – 1 2= t 2 – 2 tt – 1t – 22=t2s’annule en t = 0 et t = 2.t – 1dy2dt =t – 1 – 2 t 2= – t2 –1t 2 – 1 2 t 2 – 1 =– t 2 12t 2 2ne s’annule pas.– 1dydx =–t 2 1 – 12t 2 2⋅t–1 t t – 2 =–t 2 1t−1 2 t1 2⋅t−12 tt−2 =−t 2 1tt−2t1 2ne s’annule pas.Les valeurs de t intéressantes sont t = –1, 0, 1 et 2 (valeurs trouvées aux étapes 1 et 3). Ilfaut aussi voir ce qui se passe quand t → ±∞.t – ∞ –1 0 1 2 + ∞x – ∞ – 1 2dxdt 0 4 + ∞+ + 0 − − 0 +y 0 − 0 dydt− – –1 – − –5 −23 0 +A. H. A. V. tangente A. O tangente A. H.verticaleverticale4. Points particuliers En inspectant le tableau ci-dessus, on s'aperçoit qu'il n’y a pas de points singuliers, maisdeux points à tangente verticale.5. Intersection avecles axes6. ReprésentationgraphiqueIl y a une seule intersection en t = 0. Le point d'intersection est (0 ; 0).En bleu, les trois asymptotes.Didier Müller - LCP - 2010Cahier Analyse

44CHAPITRE 6Second exempleÉtudions la courbe{x = 2t− 1 t 2y = 2tt 21. Domaine dedéfinitionL’ensemble de définition de la courbe est D = R *{ lim xt=−∞t 02. Asymptotes Il y a une asymptote horizontale quand t = 0, puisquey t=0limt 0Il n'y a pas d'asymptotes quand t ±∞ .3. Dérivées et tableaude variationsdxdt =2 2 t 3 s’annule en t = −1.dy=22t s’annule en t = −1.dtdydx = 1t1 1 = 1tt 3 1t 3t 3= t 3 t1t 3 1 = t 3 t1t1t 2 −t1 = t 3t 2 −t1ne s'annule jamais.Les valeurs de t intéressantes sont t = –1 et 0 (valeurs trouvées aux étapes 1 et 3). Il fautaussi voir ce qui se passe quand t → ±∞.t – ∞ –1 0 + ∞x – ∞ –3 + ∞dxdt+ 0 − +y + ∞ –1 0 + ∞dydtdydx− 0 + 2 +− 1 3PointsingulierAsymptotehorizontale4. Points particuliers En inspectant le tableau, on s'aperçoit qu'il y a un point singulier en t = −1. Il est utiledans ce cas de calculer dy −1 pour connaître la pente de la tangente en ce point.dx5. Intersections avecles axesxt =0⇒t= 132qui correspond au point (0 ; 2.22)yt=0⇒t=−2 qui correspond au point (−4.25 ; 0)6. ReprésentationgraphiqueEn esquissant le dessin de cette courbe, on s'apercevra que cette courbe contient unx t = x spoint double. Pour le calculer, il faut résoudre{avec t≠s .y t = y sCe n'est en général pas facile ! En résolvant le système avec Mathematica, on a trouvét=– 1 – 2 et s=– 12 . Ces deux valeurs correspondent au point (−5 ; 1).Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES 45Exercice 6.2 Étudiez et dessinez les courbes suivantes selon les exemples du § 6.6 (a > 0).x t = t2a. b.{ y t = t 3{x t =y t =t 21t 2t 31t 2c.3t{x t =1t 3y t = 3t 21t 3 d.3t{x t =1t 3y t = 3t 21t 2e.{x t =y t =e −tt1t t−1f.{x t =y t =e −tt1t t2{ln tx t =g. ty t = t ln tx t = at−sin th.{ y t = a1−costi.{ x t = a cos3 ty t = a sin 3 tj.{ x t = a cos3 ty t = a sint6.7. Ce qu’il faut absolument savoirTrouver les asymptotes d’une courbe paramétréeTrouver les points particuliers d’une courbe paramétréeConnaître les six étapes de la méthode par cœurMaîtriser parfaitement chaque étape de la méthode❏ ok❏ ok❏ ok❏ okDidier Müller - LCP - 2010Cahier Analyse

46CHAPITRE 6Folium de Descartes{x = 3a t1t 3y = t x{x = cost2cos 2tTrèfle gauche y = sint−2 sin2tz = −2sin 3tCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

INTÉGRALES477. Intégrales7.1. Un peu d'histoireArchimède de Syracuse(Syracuse, -287 -Syracuse, -212)Les calculs d'aire de figures géométriques simples comme les rectangles, les polygoneset les cercles sont décrits dans les plus anciens documents mathématiques connus. Lapremière réelle avancée au-delà de ce niveau élémentaire a été faite par Archimède, legénial savant grec. Grâce à la technique d'Archimède, on pouvait calculer des airesbornées par des paraboles et des spirales. Au début du 18 ème siècle, plusieursmathématiciens ont cherché à calculer de telles aires de manière plus simple à l'aide delimites. Cependant, ces méthodes manquaient de généralité. La découverte majeure de larésolution générale du problème d'aire fut faite indépendamment par Newton et Leibniz(voir le chapitre 3) lorsqu'ils s'aperçurent que l'aire sous une courbe pouvait être obtenueen inversant le processus de différentiation. Cette découverte, qui marqua le vrai débutde l'analyse, fut répandue par Newton en 1669 et ensuite publiée en 1711 dans unarticle intitulé De Analysis per Aequationes Numero Terminorum Infinitas.Indépendamment, Leibniz découvrit le même résultat aux environs de 1673 et leformula dans un manuscrit non publié daté du 11 novembre 1675.7.2. Calcul d'aireDans ce paragraphe, nous allons étudier le deuxième problème majeur de l'analyse (lepremier problème était de trouver la tangente à une courbe qui nous a conduit à ladécouverte des dérivées) :Le problème du calcul d'aireSoit une fonction f continue et non négative sur un intervalle [a, b].Trouver l'aire entre le graphe de f et l'abscisse dans l'intervalle [a, b].5Que vaut l'aire sous la courbe4 + sin(x) entre 1 et 6 (voirdessin ci-contre) ?43211 2 3 4 5 6Georg Friedrich BernhardRiemann(Breselenz, 17/9/1826 -Selasca, 20/7/1866)Note : cette somme est appeléesomme de Riemann.L'idée est de subdiviser l'intervalle [a, b] en plusieurs sous-intervalles de même largeur[x 0, x 1], [x 1, x 2], ... , [x n–1, x n], avec x 0=a et x n=b.La largeur de chaque sous-intervalle est égale à la largeur de l'intervalle [a, b] divisé parle nombre de sous-intervalles, c'est-à-dire : de x= b – a .nPour chaque i = 0, 1, ... , n–1, on dessine un rectangle ayant comme base le segmentx ix i+1 et comme hauteur f(x i) (voir dessins page suivante).Ainsi, l'aire du i ème rectangle (hauteur x largeur) est :L'aire totale des n rectangles est :f x i × xn –1A n=∑ f x i ⋅ xi=0Didier Müller - LCP - 2010Cahier Analyse

48CHAPITRE 7Rappel3∑i=0x i =x 0 x 1 x 2 x 3Lorsque le nombre n de sous-intervalles augmente, la largeur de chaque sous-intervallediminue et l'approximation de l'aire sous la courbe devient plus précise. À la limite,nous obtenons l'expression exacte pour l'aire A :A= limn∞n – 1∑i=0f x i ⋅ x avec x= b – an54321543211 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6Approximation avec 10 rectangles : aire = 19.8691 Approximation avec 30 rectangles : aire = 19.6745Exercice 7.1Voici trois manières d'approcher l'aire sous la courbe 4+sin(x). Les deux premièresutilisent cinq rectangles, la troisième cinq trapèzes.L'aire exacte est 19.5801.a.5432b.5432111 2 3 4 5 61 2 3 4 5 654c.32Calculez ces trois approximations.11 2 3 4 5 67.3. Définition de l'intégrale définieNote importanteb∫ f x dx est un nombre.aD'une manière générale, et indépendamment du calcul d'aire, la quantitéA= limn ∞n – 1∑i=0f x i ⋅ x(si la limite existe) est appelée intégrale définie de la fonction f(x) de a à b. Elle estnotéeb∫af x dxLes nombres a et b sont appelés bornes d'intégration et x variable d'intégration.« dx » est un symbole insécable (on ne peut pas séparer le d du x). Il indique que l'onintègre sur x. Il se place toujours en dernière position et marque la fin de l'intégrale.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

INTÉGRALES497.4. Le théorème fondamental du calcul intégralL'usage de la définition de l'intégraleb∫an–f x dx= lim ∑1 b−an∞ i=0 n ⋅f x ise révèle être très peu pratique car demandant des calculs longs et parfois difficiles.Cependant, pour certaines fonctions (pas toutes), il existe une alternative plus simple. Ilse trouve qu'il y a une relation entre intégration et différenciation. Cette relations'appelle le théorème fondamental du calcul intégral.Théorème fondamentaldu calcul intégralNote∫ f x dx est une fonctionPreuve du théorèmeSoit une fonction f continue définie sur l'intervalle [a, b]. Alorsb∫aoù F(x) est une fonction telle que F'(x) = f(x).f x dx=F b−F aOn dit que F(x) est la primitive de f(x) et on écrit F x=∫ f xdx .Pour simplifier, nous allons prouver le théorème pour une fonction f positive surl'intervalle [a, b]. Le cas général est similaire.Pour tout nombre réel x compris entre a et b, notons A(x) l'aire bornée par la courbe,l'abscisse, la droite verticale passant par a et celle passant par x. Ceci définit unefonction A(x).Considérons le changement de la valeur A(x) quand x augmente d'une petite quantité h.Si h est suffisamment petit, la différence entre A(x) et A(x+h) est approximativementégale à l'aire du rectangle de largeur h et de hauteur f(x), donc d'aire h·f(x). Ainsi :En divisant par h, on obtient :A xh−A x≈h⋅f xA xh−A x≈ f xhPlus h sera petit, plus petite sera l'erreur de l'approximation ci-dessus. À la limite, nousaurons :limh 0A xh – A x= f xhDidier Müller - LCP - 2010Cahier Analyse

50CHAPITRE 7En d'autres termes, A(x) est laprimitive de f(x) (les Anglo-Saxons disent volontiersantidérivée ou encore intégraleindéfinie).Cette limite n'est rien d'autre que la dérivée A'(x) de la fonction A(x). Nous avons doncmontré que :A'(x) = f(x)Supposons maintenant que F(x) est une primitive de f(x). Ainsi :DoncF'(x) = f(x) = A'(x)F'(x) – A'(x) = [F–A]'(x) = 0Cela signifie que la fonction F–A est constante sur l'intervalle [a, b] (car sa dérivée estnulle). Supposons que [F–A](x) = C.Ainsi :F(x) = A(x) + CComme A(a) = 0, nous pouvons déterminer C en posant x = a :F(a) = 0 + CAinsi :Il s'ensuit queF(x) = A(x) + F(a) ou A(x) = F(x) – F(a)b∫af x dx=A b=F b−F aQ.E.D.ExempleAttention !Il faut toujours travailler enradians !Reprenons notre exemple de départ, à savoir calculer l'aire sous la courbe de la fonctionf(x) = 4 + sin(x), dans l'intervalle [1, 6].Une primitive possible de f(x) est F(x) = 4x – cos(x). On peut le vérifier aisément endérivant F(x).Donc, d'après le théorème fondamental du calcul intégral :6∫1F 6F14sin xdx=24−cos6− 4−cos1=19.5801327.5. Recherche de primitivesSoit donnée la fonction F(x) = x 2 . Sa dérivée est F'(x) = f(x) = 2x. Supposons maintenantque l'on ait « oublié » la fonction F(x) et qu'on n'ait retenu que sa dérivée f(x). Est-ilpossible de retrouver la fonction originale F(x) ?Cette recherche de la fonction originale est appelée recherche d'une primitive.DériverF x=x 2f x=2 xChercher une primitiveRemarquons au passage qu'il existe une infinité de primitives pour une fonction f(x). Eneffet, rappelons-nous que la dérivée d'une constante est nulle.Donc F(x) = x 2 + 2, F(x) = x 2 – 5 sont aussi des primitives de f(x) = 2x.Cependant, toutes les primitives de f(x) = 2x sont de la forme F(x) = x 2 + C .Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

INTÉGRALES51Exercice 7.2En vous appuyant sur vos souvenirs des dérivées, trouvez les primitives ci-dessous :∫ 4 dx = ∫ 6 x dx = ∫ x 2 dx =∫−cos x dx = ∫ e x dx = ∫ dx x =∫ sin d =∫ dx2 x = ∫ d cos 2 =Vous trouverez une liste des primitives les plus courantes dans votre formulaire demathématiques.Propriétés desprimitivesExercice 7.3Intégration parsubstitution(1) ∫ k⋅f x dx=k∫ f x dx(2) ∫ f xg x dx=∫ f x dx∫ g x dx (idem pour « – »)En utilisant votre formulaire et les deux propriétés ci-dessus, trouvez les primitivessuivantes :a. ∫ cot xdx b. ∫ 5 x 412 dx c. ∫ 7sin 3x dxd. ∫5cos2 x−e 5x 9dx e. ∫ 2tan x dx f. ∫ 3 x dxg. ∫ x 3 1dx (aide : transformez cette fonction en somme de puissances de x). xCette importante méthode est couramment utilisée pour transformer un problèmed'intégration compliqué en un problème plus simple. Elle peut se résumer ainsi :Pas 1. Poser u = g(x). Tout le problème est de bien choisir g(x) !Pas 2. Calculerdu=g ' x .dxPas 3. Faire la substitution u = g(x), du = g'(x) dx.À partir d'ici, plus aucun x ne doit subsister dans l'intégrale. Si tel était le cas, celavoudrait dire que la substitution du pas 1 n'était pas judicieuse.Pas 4. Trouver la primitive.Pas 5. Remplacer u par g(x), pour obtenir le résultat en fonction de x.Premier exempleÉvaluer ∫sin 2 xcos x dx .Si on pose u = sin(x), on aura dudx= cos(x), donc du = cos(x)dx.Ainsi, ∫sin 2 xcos x dx=∫ u 2 du= u33 C x=sin3 C3Deuxième exempleÉvaluer ∫ cos x dx . xSi on pose u= x , on aura dudx = 111, donc du= dx et 2 du=2 x 2 x x dx .Ainsi, ∫ cos x dx=∫ 2cosu du=2∫ cosu du=2sin uC=2sin xC xDidier Müller - LCP - 2010Cahier Analyse

52CHAPITRE 7Exercice 7.4Trouvez les primitives ci-dessous en faisant la substitution indiquée :a. ∫ 2 x x 2 1 23 dx u = x 2 + 1b. ∫ cos 3 xsin xdx u = cos(x)c. ∫ sin x xdxd. ∫ 3 x dx4 x 2 5u= xu = 4x 2 + 5Exercice 7.5Trouvez les primitives ci-dessous. Vous vérifierez chaque résultat en le dérivant.a. ∫ x2−x 2 3 dx b. ∫ cos8 xdxc. ∫ t 7t 2 12dt d. ∫ x2 x 3 1 dxe. ∫ x dx4 x 2 1 3 f.∫ sin 5 x dxx 2g. ∫ x 2 dxcos 2 x 3 sin 3d i. ∫cos 2 cos3h. ∫sin 5 3 cos3d j. ∫ x e x2 dxk. ∫ln xdx l.x∫ x 2 x 3 2dxm. ∫ 3 x 1−2 x 2 dx n. ∫ 8 x 2x 3 2 dxLes questions o, p et qnécessitent une opérationpréalable.tan 4 xo. ∫cos4 x dx p. ∫ x2x1 dxq. ∫ cos 3 d (indication : rappelez-vous que cos 2 sin 2 =1 )Intégration parpartiesSi nous voulons poursuivre notre projet de ramener des problèmes compliqués à desproblèmes simples, nous pouvons examiner la possibilité d'exprimer l'intégrale d'unproduit de deux fonctions f et g en termes des intégrales de f et g. Essayons d'inverser larègle pour la dérivée d'un produit :(f·g)' = f ' ·g + f·g'En intégrant, on obtient :D'où la règle d'intégration par parties :f x⋅g x =∫ f ' x⋅g x dx∫ f x⋅g ' xdx∫ f x⋅g ' xdx= f x⋅g x−∫ f ' x⋅g xdxUtilité de la formuled'intégration parpartiesLa formule de l'intégration par parties ne résout que très partiellement le problème quenous nous sommes posé. Analysons-la : elle s'applique à un produit de fonctions dontnous devons pouvoir dériver l'une (f→f ' ) et intégrer l'autre (g'→g). Mais son pointfaible réside dans le fait qu'elle ramène l'intégrale d'un produit (f·g') à l'intégrale d'unautre produit (f ' ·g).Son utilisation n'a donc de sens que si le calcul de la deuxième intégrale est plus simpleque celui de la première.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

INTÉGRALES53ExempleRemarqueLors d'une résolution enutilisant cette technique, ilarrive que l'on doive intégrerpar parties plusieurs fois.Exercice 7.6∫ x e x dx = ?Les deux facteurs peuvent très facilement être dérivés et intégrés. Comme la dérivée dex est 1, on va poser :f (x) = xg'(x) = e xd'où : f ' (x) = 1 g(x) = e x (+C)et nous trouvons : ∫ x e x dx=x e x −∫ e x dx .La nouvelle intégrale (celle à droite du « = ») est facile à résoudre : ∫ e x dx=e xDonc : ∫ x e x dx=x e x −e x C= x−1e x CVérifions le résultat en dérivant : ((x–1)·e x )' = (x–1)·e x + e x = x·e xTrouvez les primitives suivantes, en intégrant par parties :a. ∫ x cosx dx b. ∫ xe x dxc. ∫ x 3 ln∣4 x∣dx d. ∫ x x1 dxe. ∫ 2 x sin 3 xdx f. ∫ ln∣x∣ dxxg. ∫ t 2 e t dt h. ∫ x 2 sin x dxi. ∫ e x x 2 x1 dx j. ∫ e −x sin xdx7.6. Retour au problème du calcul d'aireExercice 7.7Nous avons introduit la notion d'intégrale à partir du problème du calcul d'aire sous unecourbe (voir § 7.2). Ce problème avait une restriction : la fonction f devait être positivedans l'intervalle [a, b]. Que se passe-t-il si ce n'est pas le cas ? Pour le découvrir,calculez successivement les intégrales définies ci-dessous (voir § 7.3) :0∫ sin x dx =0∫ sin x dx =03 ∫ sin x dx =04∫03 2∫0sin x dx =sin xdx =0∫ sin x dx =−2∫0sin x dx =2 ∫ sin x dx =00∫ sin x dx =Voici le graphe de sin(x) dans l'intervalle [−π ; 3π]. Que constatez-vous d'étrange etcomment l'expliquez-vous ?À votre avis, qu'entend-on par le terme aire signée ?Didier Müller - LCP - 2010Cahier Analyse

54CHAPITRE 77.7. Calcul de l'intégrale définiePropriétés del'intégrale définieComme vous avez pu leconstater au § 7.6, l'intégraledéfinie représente l'airesignée comprise entre lacourbe et l'axe Ox dans unintervalle donné. Cela signifieque l'aire est comptéenégativement quand lafonction est négative.Cette constatation aide àcomprendre les propriétés cicontre.S'il est impossible de trouverune primitive, on peut toujoursapprocher numériquement lerésultat par la somme desrectangles définis au § 7.2.b(1) ∫ab(2) ∫aa(3) ∫ab(4) ∫ab(5) ∫ab(6) ∫abk⋅f x dx=k⋅∫ab f xg x dx=∫af x dx=0af x dx=−∫bcf x dx=∫af x dxf x dxbf x dx∫cbf x dx∫ g x dx (idem pour « – »)af xdx (avec a ≤ c ≤ b)bf x dx≤∫ g x dx si f(x) ≤ g(x) pour tout x dans [a, b]aChaque fois que c'est possible, le calcul de l'intégrale définie entre les bornes a et b sefait en deux temps. Premièrement, trouver une primitive F(x) de la fonction f(x) àintégrer ; deuxièmement calculer F(b) – F(a).3Comme exemple, calculons ∫ x 2x 2 dx .– 1Étape 1 : ∫ x2x 2 dx=∫ 2 xx 3 dx=x 2 x44 C3Étape 2 : ∫ x 2x 2 dx=3 2 34– 14 −−12 −14 =9 81 4 4 −11 4 =28Exercice 7.8Calculez les intégrales définies ci-dessous :3a. ∫23d. ∫19g. ∫4x 3 dx b.2∫−11x dx e. ∫212 y y dy h.4∫ 12x 1x 3 dx c.2∫t −2t8dt1 1 x − 2 93x 2 x−4 dx f. ∫ x dx14 x −5 x−x− 32 dx i. ∫− 4cos x dx2j. ∫6 x 2sin 2 x dx k. ∫02x13 x dx l. ∫20x 2 cos xdxExercice 7.9Pour toutes les questions cicontre,il est vivementrecommandé de faire uneesquisse.a. Calculez l'aire sous la courbe y = x 2 + 1 dans l'intervalle [0, 3].b. Calculez l'aire au-dessus de l'axe Ox mais en dessous de la courbe y = (1–x)(x–2).c. Calculez l'aire du domaine borné par la courbe y = 3sinx et l'abscisse dansl'intervalle [0, 4 3 ].d. Calculez l'aire du domaine borné par la courbe y = x 3 – 5x 2 + 6x et l'abscisse dansl'intervalle [0, 3].Exercice 7.10a. Calculez2∫02x− 3dxb. Calculez3π / 4∫0cos xdxCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

INTÉGRALES557.8. Intégrales impropresUne intégrale définie est dite impropre (ou généralisée) dans deux cas :1. une ou les deux bornes sont à l'infiniou 2. la fonction n'est pas continue dans l'intervalle d'intégration.Premier casSi la fonction f est continue dans l'intervalle d'intégration, on définit :∞∫ f xdx= limab∞b∫abf x dx et ∫ f xdx= lim−∞a −∞b∫af x dxDans les deux cas, si la limite existe et n'est pas infinie, on dit que l'intégrale converge.Autrement, elle diverge.∞0∞De plus, ∫ f xdx=∫ f xdx∫ f x dx .−∞−∞0Exemple 1∞∫ dx1 x = ? 2On a : ∫ dxx =−1 C=F x2 x∞D'où : ∫ dx1 x = lim 2 b ∞b∫1dxx 2 = limb ∞Cette intégrale converge vers 1.F b−F 1= lim− 1 b −−1=1b∞0Exemple 2∞∫ dx1 x = ?On a : ∫ dx =ln∣x∣C=F xx∞D'où : ∫ dx1 x = limb∞b∫1Cette intégrale diverge.dxx = limb ∞F b−F 1= limlnb−ln 1=∞b∞ ∞0Second casSi la fonction f est discontinue en c dans l'intervalle [a, b] (c peut être une des bornesd'intégration), alorsb∫af x dx=lim cc∫af x dxlim ccb∫f x dxExemple 32∫0dx x−1 =lim 2 11∫0dx x−1 lim 2 112∫On a : ∫dx x−1 =− 1 C =F x2 x−1Calcul de la première limite : limCalcul de la seconde limite : lim 11dx x−1 = ? 2∫0 112∫dx x−1 =lim 2 11dx x−1 =lim 2 11− 1−1 −1=∞−1 1−1 =∞Cette intégrale diverge. Si on avait appliqué naïvement la formule sans prendre deprécaution, on aurait trouvé F(2) – F(0) = −1−1 = −2. Résultat aberrant puisque f n'estjamais négative : l'intégrale définie ne peut pas être négative non plus !Didier Müller - LCP - 2010Cahier Analyse

56CHAPITRE 7Exercice 7.11Calculez les intégrales impropres ci-dessous :∞a. ∫0∞e −x dx b. ∫ dx1 x∞dxd. ∫e x ln 3 x∞g. ∫−∞2j. ∫00e. ∫−∞x 3 dx h.∞∫−∞tan xdx k.3∫0∞2c. ∫4 x 2 −1 dxdxf. ∫ e 3 x dx2 x−1 30−∞x x 2 3 dx i. ∫23dxx−242l. ∫0dx x−3 2cos x1−sin x dx7.9. Ce qu'il faut absolument savoirComprendre comment calculer une aire avec une somme de rectangleConnaître le théorème fondamental de l'analyse et savoir le démontrerSavoir ce qu'est une primitiveTrouver une primitive par la méthode de substitutionIntégrer par partieCalculer une intégrale définieCalculer l'aire comprise entre une courbe de l'axe des x❏ ok❏ ok❏ ok❏ ok❏ ok❏ ok❏ okCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

APPLICATIONS DES INTÉGRALES DÉFINIES578. Applications des intégrales définies8.1. Aire entre deux courbesProblèmeSoient f et g deux fonctions continues dans l'intervalle [a, b] telles que f(x) ≥ g(x), poura ≤ x ≤ b. Calculer l'aire A du domaine délimité par ces deux courbes.SolutionSi g est positive (g ≥ 0) dans l'intervalle [a, b], alorsdoncbA=∫aA = « aire sous f » – « aire sous g »bf xdx−∫abg xdx=∫ [ f x – g x] dxaCette formule est aussi valable quand les fonctions ne sont pas partout positives.En effet, si g prend des valeurs négatives dans l'intervalle [a, b], on translate les deuxcourbes verticalement vers le haut de sorte que la fonction g soit partout positive ounulle. Il s'agit donc de trouver le minimum m de g sur [a, b], puis de soustraire m (carm

58CHAPITRE 88.2. Volume d'un solide de révolutionProblèmeSoit f une fonction continue et non négative sur l'intervalle [a, b].Trouver le volume V du solide généré par la révolution autour de l'axe Ox de la portionde courbe y = f(x) comprise entre x = a et x = b.0 1 2 3 432.5221.5010.5-21 2 3 40-2Volume de révolution obtenu en faisant tourner la courbe de gauche autour de l'axe Ox2Solution(méthode des disques)L'idée est la même que lorsque l'on cherchait l'aire sous une courbe. On va découperl'intervalle [a, b] en n sous-intervalles de même largeur [x 0 , x 1 ], [x 1, x 2 ], ... , [x n–1 , x n ],avec x 0 = a et x n = b.La largeur de chaque sous-intervalle est égale à la largeur de l'intervalle [a, b] divisé parle nombre de sous-intervalles, c'est-à-dire : x= b – a . Pour chaque i = 0, 1, ... , n–1,non dessine un rectangle ayant comme base le segment x i x i+1 et comme hauteur f(x i ).Lorsqu'ils tourneront autour de l'axe Ox, chacun de ces rectangles va définir un cylindretrès fin (presque un disque) de volume π·[f(x i )] 2 ∆x.Le volume du corps de révolution sera la somme de tous ces cylindres :V = limn ∞n∑i=1qui n'est rien d'autre que l'intégrale définie :⋅[ f x] 2 xbV =∫[ f x] 2 dxa0 1 2 3 420-220-2Volume de révolution approché par une série de cylindres.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

APPLICATIONS DES INTÉGRALES DÉFINIES59Exercice 8.2Calculez le volume des solides générés par la révolution autour de l'axe Ox des courbessuivantes et donnez le nom (quand ils en ont un) de ces solides :a. y = 4, –1 ≤ x ≤ 3b. y = 3x, 0 ≤ x ≤ 2c. y = x + 1, 0 ≤ x ≤ 3d. y= R 2 −x 2 , –R ≤ x ≤ Re. y=3−x , x ≥ –1f. y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 2g. Donnez la formule permettant de trouver le volume engendré par une révolutionautour de l'axe Oy, puis calculez le volume du solide généré par la révolutionautour de l'axe Oy de la courbe : y = x 3 , 0 ≤ y ≤ 1.h. Trouvez le volume du corps engendré par la révolution autour de l'axe Oy de lacourbe x=1y , y ≤ 3.8.3. Longueur d'une courbe planeDéfinition préalableProblèmeSolutionUne fonction est lisse sur un intervalle si sa dérivée est continue sur cet intervalle.Soit f une fonction lisse dans l'intervalle [a, b].Trouver la longueur L de la courbe y = f(x) de a à b.L'idée consiste à découper l'intervalle [a, b] en n sous-intervalles [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ...,[x n–1 , x n ] de largeur ∆x.On pose évidemment x 0 = a et x n = b.On relie ensuite par une ligne polygonale les points P 0 , P 1 , ..., P n .On obtiendra une bonne approximation de la longueur de la courbe en additionnant leslongueurs L k des n différents segments, pour k = 1, ..., n.Regardons un segment. Le théorème de Pythagore nous donne facilement sa longueur s : s= x 2 y 2Que l'on peut aussi écrire :2 x s= x2 y22x x 2⋅ x= 1 y⋅ xVoir La dérivée § 3.6Si l'on regarde de segment [x k–1 , x k ], on peut écrire :=L 1 k f x 2k – f x k –1 ⋅ xx k – x k – 1 k – x k –1 D'après le théorème des accroissements finis,Par conséquent,f x k – f x k – 1 = f ' x k – x k où x k–1 < ξ k < x kk –1L k=1[ f ' k] 2 ⋅ xDonc, la longueur de la ligne polygonale estnL=∑ 1[ f ' k ] 2 ⋅ xk=1Didier Müller - LCP - 2010Cahier Analyse

60CHAPITRE 8Si nous augmentons maintenant le nombre de sous-intervalles de sorte que ∆x→0, alorsla longueur de la courbe polygonale va approcher la longueur de la courbe y = f(x). Pardéfinition, ce n'est rien d'autre que l'intégrale définie suivante :bL=∫ 1[ f ' x] 2 dxaExercice 8.3a. Calculez la longueur de la courbe y = 2x entre les points (1, 2) et (2, 4) en utilisantla formule ci-dessus, puis vérifiez votre réponse à l'aide du théorème de Pythagore.b. Calculez la longueur de la courbe y=x2 – 1 de x = 0 à x = 1.c. 1. Calculez la longueur de la courbe y=x3 de x = 1 à x = 8.2. Pourquoi ne peut-on pas utiliser telle quelle la formule pour calculer lalongueur de cette courbe entre –1 et 8 ? Donnez un moyen de s'en sortir.d. Calculez la longueur de la courbe y=1 – x 2 de x = 0 à x = 1.328.4. Aire d'une surface de révolutionProblèmeSolutionSoit f une fonction lisse et non négative sur l'intervalle [a, b].Trouver l'aire de la surface générée par la révolution autour de l'axe Ox de la portion decourbe y = f(x) comprise entre x = a et x = b.L'idée est un peu la même que pour calculer la longueur d'une courbe : on va approcherla courbe par une ligne polygonale. En faisant tourner cette ligne polygonale autour del'axe Ox, la surface obtenue sera composée de troncs de cônes circulaires droits mis boutà bout.Si r 1 est le rayon du grand cercle de base, r 2 le rayon du petit et g la longueur d'unegénératrice du tronc de cône, son aire latérale vaut :A cône = π(r 1 + r 2 )·gLe théorème de la valeurintermédiaire nous assure quem k existe.Reprenons notre surface de révolution dont on veut connaître l'aire. Coupons-la entranches de largeur ∆x, comme le ferait un boucher avec un jambon. Ces tranches sont« à peu près » des cônes tronqués. L'aire latérale du tronc de cône no k est :A k =2⋅f m k ⋅L kavec m k compris entre x k–1 et x k et tel que f m k = f x k – 1 f x k .2Lors des calculs de la longueur d'une courbe du § 8.3, nous avons calculé queL k=1[ f ' k] 2 ⋅ x , doncL'aire de la surface totale est la somme :A k=2⋅f m k⋅1[ f ' k] 2 ⋅ xnA=∑ 2⋅f m k ⋅1[ f ' k ] 2 ⋅ xk=1Le calcul intégral avancé nousapprend que cette suppositionest en fait inutile car f et f ' sonttoutes deux continues.Quand on augmente le nombre de segments, leur longueur diminue, et forcément ξ serapproche de m. Si on suppose qu'à la limite ces points sont confondus, on trouvel'intégrale suivante :bA=2∫af x 1 f ' x 2 dxCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

APPLICATIONS DES INTÉGRALES DÉFINIES610 1 2 3 432.5221.5010.51 2 3 4-2-202Surface de révolution obtenue en faisant tourner autour de l'axe Ox la ligne polygonale approchant la courbeProblème semblablePour une fonction exprimée sous la forme x = g(y), avec g'(y) continue sur l'intervalle[c, d] et g(y) ≥ 0 pour c ≤ y ≤ d, l'aire de la surface générée par la révolution de g(y)autour de l'axe Oy est donnée par la formule :dA=2∫ g y1g ' y 2 dycExercice 8.4Trouvez l'aire de la surface engendrée par la révolution autour de l'axe Ox des courbessuivantes :a. y=1 – x 2 , 0x 1 2c. y= 4 – x 2 −1x1b. y = 7x, 0x1Trouvez l'aire de la surface engendrée par la révolution autour de l'axe Oy des courbessuivantes :d. x=9 y1 0 y2 e. x=9 – y 2 −2y2f. y= 3 3 x 0 y28.5. Mouvement rectiligneRemarqueDans ce paragraphe, noussupposerons que tous lesmouvements se font sur uneligne droite.Pour introduire les dérivées, nous avions parlé du problème de calculer la vitesseinstantanée d'un mobile connaissant son horaire s(t). Nous avions vu que la vitesse v(t)est la dérivée de l'horaire et l'accélération a(t) la dérivée de la vitesse :v t=s' t = dsdtetat =v ' t= dvdt = d 2 sdt 2Inversement, on déduit que l'horaire est l'antidérivée de la vitesse et que la vitesse estl'antidérivée de l'accélération :st=∫ v t dt et v t=∫ at dtAinsi, si la fonction vitesse d'un mobile est connue, on peut trouver sa position àcondition d'avoir suffisamment d'informations pour déterminer la constanted'intégration.Didier Müller - LCP - 2010Cahier Analyse

62CHAPITRE 8ExempleTrouvez la fonction horaire d'une particule se déplaçant avec une vitesse v(t) = cos(π·t)le long d'une ligne droite, en sachant qu'en t = 0, s = 4.La fonction horaire est st=∫ v t dt=∫ cost dt= 1 sin tC .Comme s = 4 quand t = 0, il suit que 4=s0= 1 sin 0C=C .Ainsi, st= 1 sin t4 .0Déplacement et distanceparcourueLe changement de position, ou déplacement, du mobile dans un laps de temps [t 1 , t 2 ]est donné par la formule :t 2∫ vt dt=s t 2 −st 1 t 1La distance parcourue par le mobile dans ce même laps de temps peut être différentedu déplacement. Elle est donnée par la formule :t 2∫∣vt ∣dtt 1Exercice 8.5Donnez la fonction horaire s(t) d'un mobile sachant quea. v(t) = t 3 – 2t 2 + 1 ; s(0) = 1b. a(t) = 4 ; v(0) = 1 ; s(0) = 0c. a(t) = 4cos(2t) ; v(0) = –1 ; s(0) = –3d. Trouvez la position, la vitesse et l'accélération en t = 1, si v t=sin 2 t etsachant que s = 0 quand t = 0.Donnez le déplacement et la distance parcourue par une particule le long d'une droitesachant quee. v(t) = t 2 + t – 2 ; 0 ≤ t ≤ 2f. a(t) = t – 2 ; v(0) = 0 ; 1 ≤ t ≤ 5g. at = 15t1 ; v(0) = 2 ; 0 ≤ t ≤ 3h. Sachant qu'un mobile en chute libre dans le vide subit une accélération a(t) = –g,trouvez les formules de la vitesse v(t) et de l'horaire s(t).8.6. Ce qu'il faut absolument savoirCalculer l'aire entre deux courbesCalculer le volume d'un solide de révolution autour d'un des axesTrouver les valeurs de la constante C d'après les données initiales❏ ok❏ ok❏ okCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES639. Équations différentielles9.1. IntroductionUne équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnueset leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal dedifférenciation auquel une des fonctions inconnues a été soumise.Ainsi, une équation différentielle d'ordre n est une équation de la formeR(x ; y ; y'; y''; ... ; y (n) ) = 0.Toute fonction qui vérifie, pour tout x, l'équation R(x ; y ; y'; y''; ... ; y (n) ) = 0 est unesolution de cette équation.Résoudre une équation différentielle consiste à déterminer l'ensemble des fonctions quien sont solutions.Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiquesde phénomènes physiques et biologiques, par exemple pour l'étude de la radioactivité oula mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un vastechamp d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'en mathématiques appliquées.Exemples1. xy' – y = 0 est une équation différentielle du premier ordre.L'une des solutions est donnée par y = x. L'ensemble des solutions est donné parl'ensemble des fonctions de la forme y = λx, avec ∈R .2. y'' + 4y = 0 est une équation différentielle d'ordre 2.L'une des solutions est donnée par y = sin(2x), une autre par cos(2x). Les solutionsde cette équation sont de la forme y = λcos(2x) + µsin(2x), ,∈R .3. y''' + y' – 2 e x = 0 est une équation différentielle d'ordre 3.La fonction y = e x est solution de cette équation.Exercice 9.1Trouvez les équations différentielles qui ont pour solution générale les fonctions y = f(x)données ci-dessous, α, β et γ étant des constantes.a. y = α x b. y = αe xc. y = sin(x + α) d. y= 1 2 x 2 e. y = α x 2 + β x + γ9.2. L'équation y' = f(x)Une équation différentielle d'ordre 1R(x ; y ; y') = 0admet, sous certaines conditions, une solution qui dépend d'une constante réellearbitraire (constante d'intégration). Pour caractériser l'une des fonctions f, solution deR(x ; y ; y') = 0, il faut se donner une condition initiale.Méthode de résolutionSoit l'équation y' = f(x).Si F est une primitive de f, alors la solution générale de l'équation proposée est donnéepar y = F(x) + α, ∈R .Exemple y' = cos(2x) admet comme solution générale y= 1 sin 2 x , ∈R .2Didier Müller - LCP - 2011Cahier Analyse

64CHAPITRE 9Exercice 9.2Résolvez les équations suivantes :a. y' = 0 b. y' + 2x = 0c. y' = sin(x)cos(x) d. y' = 11x 2e. y' = xf. y' = x – 11x 2 x19.3. L'équation à variables séparables y'⋅ g(y) = h(x)Méthode de résolution Une équation différentielle du type y'⋅ g(y) = h(x) est dite « à variables séparables ».Si G et H sont des primitives respectives de g et h, la solution d'une telle équation estdonnée par :G(y) = H(x) + α, ∈RExempleL'équation (x – 1)y' – 2y = 0 peut se ramener ày' 1 y = 2x – 1ou dy 1dx y = 2x – 1⇒ dyy = 2x – 1 dxà condition d'écarter provisoirement la solution y = 0. En intégrant, on obtient :cln∣y∣– ln∣∣ =2ln∣x – 1∣ , ∈R *c'est-à-dire ln ∣y∣ =ln x – 12 , d'où la solution y= x – 1 2 , ∈R .Exercice 9.3Résolvez les équations suivantes :a. y' sin(x) = y cos(x) b. y 2 + (x+1)y' = 0c. xy' – ky = 0, k ∈R * d. y' =2 x 1− y 2e. x 2 y' + y = 3 f. yy' = xg. y' – xe -y = 0 h. y = ln(y')9.4. L'équation homogène y '=g y x Méthode de résolution Pour résoudre l'équation y' =g y x , on pose y=z (y = xz et y' = z + xz') : on obtientxainsi une équation différentielle à variables séparables.Exemple xy' = x + y est une équation homogène, car elle peut s'écrire : y' =1 y x .En posant y = xz, on obtient l'équation z + xz' = 1 + z, d'où z '= 1 x .Sa solution générale est z = ln|x| + α, ∈R .D'où la solution générale de l'équation proposée : y=x ln∣x∣Exercice 9.4Résolvez les équations suivantes :a. xy' = x – y b. xy 2 y' = x 3 + y 3c. x – y + xy' = 0 d. (x 2 – y 2 )y' = xyCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES659.5. L'équation linéaire y' + p(x)⋅ y = q(x)Méthode de résolutionSoit l'équation à résoudre y' + p(x)⋅ y = q(x).1. Calculer =e ∫ p x dx . µ est appelé facteur d'intégration.2.dPoser y= q x .dx3. Intégrer les deux côtés de l'équation obtenue en 2 et résoudre pour y.ExempleRésoudre y' – 4xy = x.Comme p(x) = –4x, le facteur d'intégration vaut =e ∫−4 x dx =e −2 x2 .RemarqueCette équation aurait aussi puse résoudre par séparation desvariables.On poseddx e –2 x2 y=x e –2 x2 .On intègre : e – 2 x2 y=∫ x e – 2 x2 dx=− 1 4 e – 2x2 CD'où l'on tire : y=− 1 2 x2C e4Exercice 9.5Exercice 9.6Résolvez les équations suivantes :a. y' + y tan(x) = sin(2x) b. x 2 y' + y = 1c. y' − x 3 = xy d. y' sin(x) − y cos(x) = cot(x)e. (x+1)y' − 2y = (x+1) 3 f. xy' − y = ln(x)Résolvez les équations suivantes avec les conditions initiales indiquées :a. xy' − 2y = 2 – x , y(0.5) = 0 b. 2xy' + y = 1 , y(1) = 2c. xy' + y = xcos(x) , y 2 =1 d. y' + y = e−x , y(0) = 0e. y' = y + 3x + 2 , y(0) = −3 f. xy' + 3y = – 2 x, y(−1) = −39.6. Applications des équations différentielles d'ordre 1GéométrieTrouver une courbe du plan passant par le point (0; 3) et dont la pente de la tangente aupoint (x; y) est de 2 xy 2 .On a y' = dydx = 2 x et la condition initiale y(0) = 3.2yOn doit résoudre l'équation différentielle à variables séparables : y 2 dy = 2xdx.D'où : ∫ y 2 dy=∫ 2 x dx ⇒ 1 3 y 3 =x 2 C .De la condition initiale, on déduit que C = 9. La courbe est donc y= 3 3 x 2 27 .Exercice 9.7Trouvez une courbe du plan passant par le point indiqué et dont la pente de la tangenteau point (x; y) est également donnée.a. (1; −1) ; pente =y 23 xb. (2; 0) ; pente = x e yDidier Müller - LCP - 2011Cahier Analyse

66CHAPITRE 9Mélanges1 lb = 1 livre = 453,6 grammes1 gal = 1 gallon =3.8 litres (USA) ou4.5 litres (GB)Au temps t = 0, un réservoir contient 4 lb de sel dissous dans 100 gal d'eau. Supposonsqu'une saumure contenant 2 lb de sel par gallon d'eau s'écoule dans le réservoir à undébit de 5 gal/min et que la solution obtenue s'échappe du réservoir aussi avec un débitde 5 gal/min. La solution est conservée uniforme par un mélangeur. Quelle est laquantité de sel dans le réservoir après 10 min (t = 10) ?Soit y(t) la quantité de sel (en livres) au temps t. Commençons par trouver uneexpression de dy , la vitesse de variation de la quantité de sel au temps t.dt10 lb de sel pénètrent chaque minute dans le réservoir, etOn a donc dy yt=10 –dt 20 .dydt y t =10 est une équation différentielle linéaire d'ordre 1.20On a aussi la condition initiale y(0) = 4. Résolvons.=e ∫1/20dt =e t/20ddt e t/20 y=10e t /20e t /20 y=∫ 10e t /20 dt=200 e t /20 C5yt en sortent.100−t /20yt=200C eD'après la condition initiale, 4 = 200 + C ⇒ C = −196.Donc, yt=200−196 e −t/20 .Après 10 minutes, la quantité de sel sera y10=200−196e −0.5 =81.1 lb.Exercice 9.8Exercice 9.9Exercice 9.10Au temps t = 0, un réservoir contient 25 lb de sel dissous dans 50 gal d'eau. Supposonsqu'une saumure contenant 4 lb de sel par gallon d'eau s'écoule dans le réservoir à undébit de 2 gal/min et que la solution obtenue s'échappe du réservoir aussi avec un débitde 2 gal/min. La solution est conservée uniforme par un mélangeur.a. Quelle est la quantité de sel dans le réservoir au temps t ?b. Quelle est la quantité de sel dans le réservoir après 25 min ?Un réservoir d'une capacité de 1000 gallons contient initialement 500 gal d'une saumurecontenant 50 lb de sel. Au temps t = 0, de l'eau pure est ajoutée à un débit de 20 gal/minet la solution obtenue est évacuée avec un débit de 10 gal/min.Combien de sel y aura-t-il dans le réservoir quand il commencera à déborder ?La loi de Torricelli donne une relation entre la vitesse d'écoulement d'un liquide parl'orifice d'un récipient et la hauteur de liquide au-dessus de l'orifice.Soit h(t) la hauteur de liquide contenu dans le récipient au-dessus de l'orifice au temps tet A(h) l'aire de la surface du liquide quand la hauteur du liquide est h. On a la relation :A h dh =– k hdtoù k est une constante positive dépendant de certains facteurs, comme la viscosité duliquide et l'aire de la section du trou d'écoulement.Au temps t = 0, un réservoir cylindrique d'un mètre de rayon contient 4 mètres d'eau audessusde l'orifice. La constante k vaut 0.025.a. Trouvez h(t).b. Après combien de minutes le réservoir arrêtera-t-il de se vider ?Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES67CroissanceexponentielleEn mathématiques, en économie et en biologie, on parle d'un phénomène à croissanceexponentielle (ou géométrique) lorsque la croissance en valeur absolue de lapopulation est proportionnelle à la population existante, c'est-à-dire lorsque le taux decroissance est constant.Une croissance exponentielle s'exprime en mathématiques :• pour un phénomène discret (on prend des mesures à intervalle régulier) sousforme d'une progression géométrique,• pour un phénomène continu (on essaie de calculer ce qui se passe entre deuxmesures consécutives) sous forme d'une fonction exponentielle.Soit y(t) la population en question. Comme la croissance en valeur absolue de lapopulation est proportionnelle à la population existante, cela se traduit par dy =ky oùdtk est le facteur de proportionnalité, avec y(0) = y 0 .Cette équation est à variables séparables et peut donc être résolue comme vu plus haut.∫ dy =∫ k dtyln|y| = kt + C∣y∣=e kt C =e C ⋅e ktDe la condition initiale y(0) = y 0 , il suit que e C = y 0. Par conséquent, la solution del'équation différentielle dydt =ky est y= y 0 e k t .Exercice 9.11Exercice 9.12Selon les données de l'ONU, la population mondiale au début de l'année 1990 étaitd'environ 5.3 milliards d'habitants, avec un taux de croissance de 2% par an. En utilisantle modèle de la croissance exponentielle, estimez la population mondiale au début del'année 2015.Le nombre de bactéries dans une culture croît de manière exponentielle au taux de 1%par heure. En supposant qu'il y ait actuellement 10'000 bactéries, trouvez...a. le nombre de bactéries au temps t ;b. le nombre de bactéries après 5 heures ;c. le temps nécessaire pour obtenir 45'000 bactéries.9.7. Ce qu'il faut absolument savoirRésoudre une équation à variables séparablesRésoudre une équation homogèneRésoudre une équation linéaire❏ ok❏ ok❏ okDidier Müller - LCP - 2011Cahier Analyse

68ANALYSESolutions des exercicesChapitre 1Chapitre 31.1. a. −1 b. 3 c. n'existe pas d. 21.2. 1. –2 2. –1 3. 24. 4 5. 0 6. n'existe pas7. 0 8. +∞ 9. +∞10. –∞ 11. 1/6 12. n'existe pas13.1214.32215. 316. 2 17. 2 18.2319. 1 20. 1 21. +∞22. 1 23. n'existe pas 24. n'existe pas1.3. 1. 2/3 2. 0 3. –∞4. +∞ 5. 1 6. 1/27. 1/2 8. –2 9. 110. 0 11. –∞1.4. 1. e 2. e 3 3. e 24. 1/e 5. e − 4 6. 1/e7. e 4 8. e 33.1. a. x = –1, 1, 2, 3 b. x ≅ –0.3, 1.45, 2.6c. x ≅ –0.1, 1, 2.8 d. x ≅ –0.8e. x ≅ –0.4, 1.75, 2.43.2. La dérivée est négative, car la pente de latangente en 3π est négative.y1-10 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x3.3. a. 3x 2 b. – 1 x 2 c.12 xd. 6t + 53.4. Calculons d'abord la pente de la sécante AB :pente = tan = CBAC =1 x2 –1= x2 x x 2=2 x xSi B tend vers A, ∆x tend vers 0 et la pente de lasécante tend vers 2. La pente de la tangente aupoint A est donc :lim (pente de la sécante AB) = lim (2+∆x) = 2B Ax 0La pente en A' est de −4.3.5. a. 6.77259 b. –1 c. 6.5981Chapitre 23.6. – 1 9 m/s2.3. a. f(−1) n'est pas défini b.c. limx 4f x ≠ f 4lim f x≠ f – 1x – 1d. lim f x ≠ f 2x 2x23.7.a. b.2.4. voir § 2.3.a. D = {x∣x≠– 1 2 , 1 }3b. D = [−5; 5]c. D = R d. D = [ – 2; 2]e. D = ] –∞ ;– 1[∪]1;∞[ f. D = {x∣x≥0}2.5. f satisfait la propriété de la valeur intermédiaire,mais est en discontinue en 0.c. d.e. f.2.6. environ 0.36Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012

69ANALYSE3.9. a. Le taux instantané de variation du nombre debactéries après 5 heures, exprimé en nombrede bactéries par heure.b. f ' (10) > f ' (5) car f(t) est une fonctionexponentielle.3.12. a.21.510.5-0.5-1-1.5-221-1-2b.1 2 3 4 5 6g'HxL1 2 3 4 5 6∆ l l( t + ∆ t) − l( t)3.13. a. v moyenne = = =∆ t∆ tg2 t t2 – g 2 t 2 t= g 2 2 tt=g t g 2 t= g t 2 2t t t 2 – t 22 t xb. v t= limt 0 t = lim g t gt 0 2 t=g t3.14. La dérivée seconde est négative si x < −1 etpositive si x > −1. Elle est nulle quand x = 1, cequi signale un point d'inflexion.3.15. Voir http://www.nymphomath.ch/MADIMU2/ANALY/COR3-15.PDF3.16. a. III et IV b. II c. IVd. III et IV e. I f. II3.17. a. 6 b. 1/4 c. –1/4 d. 63.18. a. –2.25, –0.5, 2 b. 0, 1.553.20. 1. 1 2. 2 3. –34. a 5. 2x 6. 8x–57. 6x 2 +2 8. 2ax+b 9. 010. 3ax 2 +2bx+c 11. 2x+2 12. 12x 3 +4x13. 2acx+ad+bc 14. – a x 2 −615. x – 1 216. – x911x – 1 3 17.18.2 x 3 3 x 23.21.1.3.5.19.23 3 x2 x52 x 2 5 x – 15 x 2 2 x2 x120.– 12 x 32.23 3 x – 14. 2 x – 112 5 x4 4 – x 6. 5(2x+5)(x2 +5x–1) 47. (30x 2 –26x–3)(2x–3) 2 8. 3(2x 2 –x–1) 2 (4x–1)9. x(5x+4)(x+2) 2 10. cos(x) – sin(x)11. tan 2 (x) 12. 2cos(2x–1)13. 20sin 4 (4x)cos(4x) 14.15.– 3cosx 2sin x2 x sin xcos 2 x 16. –17. 2e 2x 18. ae ax+b19. cos(x) e sin(x) 20. (sinx+cosx) e x21. 2(2cos(2x)–sin(2x))e 4x 22.23. 4ctg(4x) 24.25. 1 26.27.29.31.33.2tan 2 x2 xtan x2 x121x 1x– 1x 2 – 4 x54e x e – x 2 34.28. – 3 230.32. 035. 0 36.1x ln x1x2sin 2 2 x23 x – 13 3 3 x 2 – 2 x – 1 2sin 3 xcos3 x x3 x 2 6 x – 92 x3 2 x 2 94 x 1x141x x 2 1x21 – 4 x 237. 2ex 2e −1 38. (1+ln(x)) x xCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012

SOLUTIONS DES EXERCICES703.22. a. 1 b. 0 c. 03.23. a. 4 b. 1 c. 1 22d.e. 1 ef. m n a m – ng. 1 h. a – b2 abi. ∞j. n'existe pasChapitre 55.2. Repérer les points critiques et d'inflexionChapitre 44.1. a. y = 4x – 3 b. y = 1 x + 1 c. y = 13x – 244.2. a. y = –2x – 5 et y= 6 5 x – 9 5b. y = 2ex – 4 c. y = ex4.3. a. oui b. – 1524.4. f(x) ={– 3 x – 1 si x – 12x 2– 2 x si – 1x32x – 9 si x 324.5. a. 0 ; 8.13° b. 30.94° c. 70.53°4.6. b. 14.7. a = 3 ; b = 5 ou a= 349 ; b= 8 34.8.1a. 12 cm 3 /min b.16 cm/min c. 320 cm/min4.9. environ 6.05 ˚/s4.10. – 8/3 m/sp4.11. Le carré de côté2 et d'aire p 244.12. Base carrée de côté 2a3 , hauteur a 64.13. hauteur = diamètre = 3 4 dm4.14. a. ne faire que le carréb. l= 9 L pour le triangle94 34.15. PB = 3 km4.16. rectangle : largeur :4.17. La droite de pente – 2 32 p4 hauteur : p44.18. À 14h. Le navire B sera alors à 20 km de A dans ladirection 150 o E.4.19.2r 393 cm34.20. 0.81944Chapitre 66.1. D = [a ; b]Chapitre 77.1. a. 20.1762 b. 19.0553 c. 19.61577.3. a. ln⏐sinx⏐ + C b.7.4. a.x 512 + Cc. – 7 3 cos3 xC d. 5 e5xsin 2 x – 9 xC2 53 xe. -2 ln⏐cosx⏐ + C f.ln 3 C2g.7 x x3 7C124 x 2 1 24 C b. – 1 4 cos4 xCc. – 2cos xC d.7.5. a. – 1 8 2 – x 2 4 C b.c.121 7 t2 122 C d.e. – 1 16 4 x 2 1 – 2 C f.g.13 tan x 3 C h.334 4 x 2 5C1sin 8 xC823 x 3 1C15 cos 5 x C118 sin6 3 Ci. – 1 3 tan cos3C j. 12 e x2 Ck.12 ln2 ∣x∣C l.m. – 1 32 1 – 2 x 2 2 C n.o.14cos4 x Cq. sin – sin3 C329 x3 22 C83 ln∣x 3 2∣Cp. x + ln|x+1| + C3Didier Müller - LCP - 2012Cahier Analyse

71ANALYSE7.6. a. x·sinx + cosx + C b. e –x (–1–x) + Cc.d.e.f.x 44 ln∣4 x∣– 1 4 C2 x – 2 x1C323 1 3 sin 3 x – x cos3 x C12 ln2 xC g. e t (t 2 –2t+2) + Ch. −x 2 cosx + 2xsinx + 2cosx + Ci. e x x 2 – x2Cj. – 1 2 e– x cos xsin xC7.8. a. 65/4 b. 81/10 c. 22/3d. 2/3 e. –1/3 f. 52/3g. 844/5 h. –55/3 i. 2j. 223 k. 0.868 l. −2π97.9. a. 12 b. 1/6 c. 15/2d. 37/127.10. a. 5/2 b. 2 – 127.11. a. 1 b. diverge c. ln(5/3)d. 1/2 e. –1/4 f. 1/3g. 0 h. 0 i. divergej. diverge k. ln(1/2) l. 28.4. a. π b. 352 c. 8πd. 4082 e. 24π f. 24.11798.5. a. st= t 4 4 – 2 3 t3 t1 b. s(t) = 2t 2 + tChapitre 9c. s(t) = –cos(2t)–t–2 d. s = 2/π; v=1; a=0e. 2/3; 3 f. –10/3; 17/3g. 204/25; 204/259.1. a. xy' = y b. y' = yc. y'' + y = 0 d. xy'' – y' = 0e. y''' = 09.2. a. y = α, ∈R b. y = α x 2c. y= 1 2 sin2 x d. y = arctan(x) + αe. y=1x 2 f. y = x – ln(x+1) 2 + α19.3. a. y = α sin(x) b. y=ln ∣ x1∣c. y = α x k d. y = sin(x 2 + α)1xe. y=3 ef. y=± x 2 1∣−x∣g. y=ln ∣ 1 2 x 2 ∣ h. y=ln9.4. a. y= x2 2 xb. y=x 3 ln ∣ x 3 ∣c. y=x⋅ln x d. x=±y – 2ln yChapitre 88.1. a. 64/3 b. 9c. 9 d. 5/3e. 9/2 f. 5/2g. 18.2. a. cylindre : 64π b. cône : 24πc. cône tronqué : 21π d. sphère : 4 3 R3e. paraboloïde : 8π f.g.3 h. 8π5325 8.3. a. 5 b. 1.4397 c. 1. 7.6337d. π/29.5. a. y = −2cos 2 (x) + α cos(x)1xb. y=1 ec. y=– x 2 – 2 e x2 /21d. y= sin x –2sin xe. y = (x + α)(x + 1) 2f. y = αx – ln(x) – 19.6. a. 2x 2 + x – 1 b. y=1 1 xxsin xcos xc. y=xd. y = xe −xe. y = 2e x – 3x – 5 f. y= 4 – x 29.7. a. y= – 32 x1x 3b. y=– ln 3 – x22 Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012

SOLUTIONS DES EXERCICES729.8. a. y=200 – 175e – t /25b. 136 lb9.9. 25 lb9.10. a. h(t) = (2 – 0.003979t) 2b. environ 8.4 min9.11. 8.7 milliards9.12. a. y=10000e 0.01tb. 10'513c. environ 150 heuresDidier Müller - LCP - 2012Cahier Analyse