Circuits et systemes de modelisation analogique de neurones ...

Chapitre I : éléments de neurobiologie et de modélisation neurophysiologique4.2.2. Simplifications du formalisme de Hodgkin et Huxley.Le modèle original de Hodgkin Huxley est constitué d'un système couplé d'équationsdifférentielles non linéaires comportant quatre variables : V mem (t), m(t), h(t), et n(t).L'ensemble forme donc un objet mathématique très complexe qui est quasiment inexploitableen dehors d'une résolution numérique. Jusqu'à présent, aucune étude mathématiquesystématique n'a été réalisée [KOCH 99], [CRONIN 87].Afin d'ouvrir les portes à ce type d'analyse, et donc à une approche qualitative, plusieursauteurs ont proposé des réductions du formalisme de Hodgkin Huxley. Le principe général deces modélisations est basé sur l'observation des variables définies par Hodgkin et Huxley :l'activation m(t) et le potentiel V mem (t) évoluent de façon similaire, de même que n(t) et h(t)mais à une échelle plus lente. Il est donc possible de réduire à deux le nombre de variables.Grâce à ces deux variables dynamiques, ces modèles se prêtent bien à l’analyse en espace dephases, où l'on peut représenter leur évolution dans un plan et ainsi obtenir des informationsqualitatives générales sur le comportement du modèle [CRONIN 87].Parmi ces modèles à deux dimensions nous en présentons deux exemples, mais il en existed'autres, voir par exemple [MEUNIER 92] ou [HINDMARSH 82]. Modèle de FitzHugh et Naguno [CRONIN 87].avec3dV V V dt 3dWdt- a, b et constantes positives,- I courant de stimulation quelconque,- V potentiel de membrane,- W variable de repolarisation. W I V a bW(1.9) Modèle de Morris et Lecar [LE MASSON 98a].Tout comme le modèle de Hodgkin et Huxley, il possède trois canaux : un courant entrantcalcique I Ca , un courant sortant potassique I K et un courant de fuite I l :ICa gI lCa 0,5. V 50 V 1. . V E 7,5 Ca28