Analyses en Composantes Principales (ACP) - Julien Tap - Free

Goudot Sébastien – Lakhdari Omar – Tap JulienTP statistiques : Analyses en ComposantesPrincipales (ACP)IntroductionNous allons, à partir données du ministère de l’intérieur et l’INSEE, étudier les divers facteursliés aux accidents de la route.Nous allons traiter un tableau de 95 individus représentant les départements de la Francemétropolitaine (remarque : nous avons regroupé la Corse sous un seul département « 20 ») etde 5 variables que nous allons décrire ci après :1) Accidents : Nombre d’accidents recensés en 20002) Infractions : Nombre d’automobilistes en infractions contrôlés en état d’ivresse ou enexcès de vitesses en 20003) Densité : Nombre d’habitant au km2 en 20004) Jeunes : Taux de jeunes ayant entre 20 à 29 ans en 20005) Chômage : Taux de chômage en 2000Etape 1 : Analyse des données généralesNous allons regarder le plan principal 1 et 2 formé par les axes principaux 1 et 2 afin de voircomment se répartissent les individus dans le nuage de point dans le but d’éliminer certainsindividus qui fausserait l’analyse ou d’identifier des groupes d’individus formant des nuagesbien distinct.Graphique 1: Les individus sur le plan principal 1&2L’individu 75 correspondant au département de Paris est isolé du nuage de point. Ce dernierfausse l’analyse en composante principale par conséquents il sera écarté de l’analyse et feral’objet d’une analyse supplémentaire.Licence IUP SIAL 1

Goudot Sébastien – Lakhdari Omar – Tap JulienVoici le nouveau nuage de points constitués de 94 individus :Graphique 2: Les sur plan principal 1&2 après suppression du point 75Les individus se répartissent de manière homogène malgré l’apparition de deux groupesdistincts de part et d’autre de l’axe des ordonnées. Nous verrons plus tard que ce constat estcaractéristique de la répartition sociodémographique des départements.Etape 2 : Etude des valeurs propresVoici le diagramme en bâton représentant l’inertie totale.Nous choisissons d’étudier les axes 1, 2 et3. Cependant il est intéressant de constaterque les plans formés par les axes 1et 2 etformés par les axes 1 et 3 ont une inertieéquivalente de 65% environ.Remarque : L’axe 4 a une inertierelativement faible par rapport au troisprécédentes mais s’avère intéressante car ilest lié à une variables particulièrementimportante pour l’étude : le taux de jeune.Graphique 3 : diagramme d'inertie totaleLicence IUP SIAL 2

Goudot Sébastien – Lakhdari Omar – Tap JulienEtape 3 : Etudes des variablesNous allons interpréter la synthèse numérique des variables à l’aide de représentationgraphiques des variables sur les axes principaux.Pour cela nous allons étudier tout particulièrement les qtl (cosinus carrée) qui nous informesur la qualité de représentation d’une variable sur un axe.Etude axe 1 et 2L’axe 1 semble représenter les variables «accidents » avec des qlt voisines de 70% et l’axe 2semble représenter la variable « chômage » avec une qlt supérieur à 50%.Tableau 1: sélection des variables sur le plan 1&2Représentons maintenant ces variables portés par le plan 1 : 2 sur un cercle de corrélations :Il est intéressant de constater les variablesportés par l’axe 1 et les variables portés parl’axe 2 forme un angle droit signifiantl’absence de corrélation linéaire. Lesquatre variables étudiés sont proches ducercle de corrélation ainsi parl’intermédiaire de ce plan nous pourronsétudier l’influence du chômage sur lenombre d’accident. De plus nous pouvonsconstater que les variables« infractions », « accidents » et « jeunes »sont fortement liées entre elles.Graphique 4: variables sur le cercle descorrélations du plan 1&2Licence IUP SIAL 3

Goudot Sébastien – Lakhdari Omar – Tap JulienEtude des axes 1 et 3Sur le plan 1 et 3 une qlt de 70% permet de représenter les variables «accidents »« infractions » et « densité ». L’axe 1 est fortement induit par « accidents » tandis que l’axe 3est induit par la variable « densité ».Tableau 2: séléction des variables sur le plan 1&3Avec une inertie de 63,9% ce plan sera tout aussi intéressant à étudier que le plan 1 : 2.Représentons ces variables du plan 1 : 3 sur un cercle de corrélation :Avec une qualité de représentation de 80%la variable « accidents » disparaît sur ceplan l’axe est induit par la variable« infractions » tandis que l’axe 3 est induitpar la variable « densité ». Sur ce plannous pouvons constater que la variable« accidents » est liée avec la variable« infractions ».Graphique 5: variables sur le cercle descorrélations du plan 1&3Licence IUP SIAL 4

Goudot Sébastien – Lakhdari Omar – Tap JulienEtude des axes 2 et 3Le plan 2 : 3 d’inertie 38,8% nous permettra avec une bonne qualité de représentation de 50%d’étudier la variable chômage en fonction de la variable densité.Tableau 3: sélection des variables sur le plan 2&3Représentons ces deux variables sur un cercle de corrélation :Avec un qtl de 70% ce plan d’étude nouspermettra d’expliquer la différence entreles deux groupes de département observésur le graphique 2. Formant un angle droitces deux variable sont indépendantes l’unede l’autre sur ce plan.Graphique 6: variables sur le cercle descorrélations du plan 2&3Licence IUP SIAL 5

Goudot Sébastien – Lakhdari Omar – Tap JulienEtude des axes 1 et 4Nous allons pousser notre étude jusqu’à ce plan car il parait fort intéressant. En effet commenous pouvons le voir sur le tableau ci-dessous, l’axe 4 malgré une faible qtl est induit par lavariable « jeune ».Tableau 4: sélection des variables sur le plan 1&4Ainsi ce plan 1 : 4 d’inertie 60,4% nous permettra d’étudier les départements « jeune » parrapport au problème des accidents et aux infractions sur la route.Etapes 4 : étude des individusMaintenant que nous avons définis nos plans d’étude nous allons procéder à l’étude desindividus autrement dits des départements en fonction de leur contribution relative « cr » surles différents axes.A l’aide du tableau de sélection de individus en fonction de leur contribution relative nousallons pouvoir mettre en valeur certain département et former des groupementscaractéristiques sur les plans étudiés.Plan 1 : 2Ce plan va nous permettre de mesurer l’influence du chômage sur les accidents et lesinfractions de la route.Avec un cr de 0,025 nous avons pu sélectionner les départements contribuant le plus à laformation de l’axe 1 induite par les variable « accidents ». Les Bouche du Rhône (13), LeRhône (69), Le Nord (59), Le Pas de Calais (62) ainsi que la petite couronne parisienne (92,93, 94) sont les départements qui influencent l’axe 1.Avec un cr de 0,025 les département contribuant à la formation de l’axe 2 induit par lavariable « chômage » sont les Ardennes (8), l’Aude (11), le Gard (30), l’Hérault (34), l’Ile etVilaine (35), les Pyrénées Atlantiques (64).Nous avons représenté ces deux regroupements sur le graphique suivant :Licence IUP SIAL 6

Goudot Sébastien – Lakhdari Omar – Tap Julien231Graphique 7: le plan 1&2 avec sélection des individus bien représentésSur le graphique nous pouvons constater trois groupes de départements :1) Départements où le chômage est faible mais peu touché par les accidents.2) Départements où le chômage est important avec peu d’accident de la route.3) Départements où le chômage est important avec beaucoup d’accident de la routePlan 1 :3Ce plan va nous permettre de mesurer l’influence de la densité de la population sur lesaccidents et les infractions de la route.Avec un cr de 0,025 l’axe est toujours représenté par les départements cités précédemment(13, 69, 59, 62, 92, 93, 94).Avec un cr de 0,020 l’axe 3 induit par la variable « densité » est fortement contribué par lesdépartements suivants :Le Pas de Calais (62), La Seine et Marne (77) et la Gironde (33) ainsi que la petite couronneparisienne (92, 93, 94).Licence IUP SIAL 7

Goudot Sébastien – Lakhdari Omar – Tap Julien312Graphique 8: le plan 1&3 avec sélection des indivus bien représentésSur le graphique nous pouvons constater trois groupes de départements :1) Départements où la densité est moyenne mais peu touché par les accidents.2) Départements où la densité est moyenne avec beaucoup d’accident de la route.3) Départements où la densité est importante avec beaucoup d’accident de la routePlan 2 : 3Ce plan va nous permettre d’étudier les caractéristiques sociodémographiques desdépartement français en comme paramètre le chômage et la densité de population. Ceciexpliquera notamment la formation du nuage de point de la figure 2.132Graphique 9: le plan 2&3 avec sélection des individus bien représentésAvec une contribution relative de 0,20 l’axe 2 et l’axe 3 sont représentés par les mêmedépartements cités précédemment. Cependant grâce à la sélection des individus de l’ACP onpeut distinguer trois groupes de département :Licence IUP SIAL 8

Goudot Sébastien – Lakhdari Omar – Tap Julien1) la petite couronne parisienne avec une forte densité de population mais peu dechômage2) les départements ayant une faible densité avec un important chômage (Var, Aude,Pyrénées Atlantiques)3) Les départements de faible densité avec peu de chômage (Mayenne)Replaçons Paris dans ce plan afin de mesurer l’écart sociodémographique avec tous les autresdépartements de la métropole :Graphique 10: le plan 2&3 avec un individu supplémentaire 75 ParisIl est important de constater l’écart de l’individu 75 qui aurait rendu difficile une bonneinterprétation sur l’ensemble des autres départements. Ceci est du au fait que la France est trèscentralisé sur sa capitale.Plan 1 : 4Ce plan va permettre de situer la variable « jeune » dans le contexte des accidents de la route.123Graphique 11: le plan 1&4 avec sélection des individus bien représentésLicence IUP SIAL 9

Goudot Sébastien – Lakhdari Omar – Tap JulienL’axe 1 induit par la variable « accidents » est représenté par les départements citésprécédemment. En revanche ces mêmes départements (13, 92, 93, 94,59) participent à laformation de la variable jeunes induisant l’axe 4 avec d’autre département comme la HauteSavoie (74) la haute Garonne (31) mais aussi le Gers (32) et l’Aveyron (12). Nous avons alorstrois groupe de départements :1) Les départements jeunes mais où le nombre d’accident de la route est peu important.2) Les départements où la part des jeunes est faible et où il y a peu d’accidents.3) Les départements où la part de jeunes est très forte avec beaucoup d’accident de laroute.ConclusionGrâce à l’ACP nous avons pu mené une étude objective et assez approfondis sur laproblématique des accidents de la route en France. Nous avons vu d’une part que lesdépartements les plus touché par les accidents de la route faisait objet de control fréquententraînant l’augmentation d’infraction recensé. En suite il fallait confronter les problème desaccident de route selon trois facteurs sociodémographiques : l’age, le chômage et la densité depopulation. A l’image d’une France coupé en deux, on retient essentiellement que lesdépartement les plus touché par les accidents de la route ont une part de jeune importante avecune forte densité de population (92, 93, 94, 69,13). A l’inverse les départements de faibledensité où la part des jeunes est faible sont peu touchés par les problèmes de sécurité routière(53, 32).Si on nuance ce jugement, certains départements se situent entre les deux situations avecnotamment le problème du chômage qui rentre en compte par exemple (2, 30, 34, 83). LaFrance s’organise alors comme une structure pyramidale avec un sommet, où convergent lesvariables, se nommant Paris (75).Source1) INSEE. La France en fait et en chiffres. [En ligne] disponible sur :2) Ministère de l’intérieur. Les accidents de la route. [En ligne] disponible sur :Ce rapport est disponible sur Internet avec en annexes toutes les données utilisées sur : (data.xls)Licence IUP SIAL 10