Transformation de données: normalisation, stabilisation des variances

Bio2042 Transformation de données 1Transformation de données: normalisation,stabilisation des variancesDaniel BorcardDépartement de sciences biologiquesUniversité de MontréalRéférence: Legendre & Legendre 1998: paragraphe 1.5.6; 1984: p. 16 et suivantes.De nombreuses méthodes d'analyse statistique, et notamment lepuissant groupe des statistiques paramétriques, se basent surl'hypothèse de normalité: la distribution de fréquences de certainesvariables utilisées est supposée conforme à la loi normale.Malheureusement, cette conformité n'est souvent pas assurée dans lecas des données écologiques brutes. Le chercheur a donc deux choixpossibles: soit il a recours à des méthodes statistiques qui ne requièrentpas la normalité des données (comme les méthodes nonparamétriques,ou les permutations, lorsqu'il y en a de disponibles pourréaliser l'analyse souhaitée), soit il normalise ses données. Le type detransformation normalisatrice choisi dépend de l'allure de ladistribution de fréquences des données brutes.Il faut aussi remarquer que les transformations normalisatricescourantes possèdent la propriété importante de réduirel'hétéroscédasticité des données, c'est-à-dire de stabiliser leurvariance (en d'autres mots encore, de rendre leur varianceindépendante de la moyenne et plus constante sur l'ensemble del'échantillon).Enfin, et pour garder un certain réalisme, il y a bien des situations danslesquelles la normalisation complète (avec test à l'appui) s'avèreimpossible, mais où on peut se satisfaire de rendre la distribution defréquence symétrique (pour autant que l'aplatissement ne soit pas tropprononcé).Les quelques transformations les plus courantes sont évoquées cidessous.

Bio2042 Transformation de données 2Un cas typique de données asymétriques est celui des abondancesd'espèces. De telles données sont souvent composées de quelquesobservations où une espèce est très abondante, un nombre plus élevéd'observations où l'espèce est bien représentée, un nombre encore plusélevé où l'espèce est faiblement représentée, et de nombreusesobservations où l'espèce est absente. Une telle distribution estévidemment asymétrique. On peut tenter de normaliser de tellesdonnées par plusieurs formules, suivant la "gravité" de l'asymétrie:Données suivant une distribution de Poisson: les données de cetype présentent deux caractéristiques gênantes: leur distribution estasymétrique, et la variance est égale à la moyenne. Pour les normaliser,on a recours à la racine carrée:y' = (y + c)La constante c n'est utilisée que s'il y a des valeurs négatives dans lesdonnées (donc pas dans le cas d'abondances d'espèces!).Exemple: comptages d'insectes diptères syrphides migrateurs au col deBretolet (Suisse). Une heure de comptage est considérée comme uneobservation. A gauche: données brutes; à droite: données transforméespar la racine carrée. La courbe normale est indiquée pour comparaison.

Bio2042 Transformation de données 3Données suivant une distribution contagieuse: ce type de donnéesest très courant en écologie, puisque la plupart des organismes vivantsprésentent une répartition agrégée. Les données suivent alors unedistribution lognormale ou une distribution binomiale négative.Malheureusement, la normalisation est souvent difficile en raison d'unnombre excessif de zéros. Les distributions de fréquences des donnéesbrutes sont fortement asymétriques à droite: les classes représentantles valeurs faibles (de zéro à quelques individus pour des comptagesd'effectifs) sont très surreprésentées, et quelques éléments contiennentun très grand nombre d'individus. On peut tenter plusieurstransformations, les plus communément appliquées étant la racinecarrée ci-dessus et la transformation logarithmique:y' = ln(y + c)La constante c est cette fois utilisée s'il y a des valeurs négatives ounulles dans les données.Exemple: dénombrements de l'acarien oribate Oppiella nova dans 70prélèvements de sphaignes au bord du lac Geai (Québec). On constateque même la transformation ln(y+1) n'a pas suffi à rendre ladistribution complètement symétrique.D'autres transformations peuvent aussi être tentées, comme la racinecubique, ou le log au carré.

Bio2042 Transformation de données 4Méthode de Box-Cox: lorsqu'il n'y a pas de raison a priori pourchoisir l'une ou l'autre de ces transformations, ces auteurs ont proposéune formule générale dont l'exposant gamma peut être ajusté paritérations pour obtenir la meilleure transformation possible:y' = (y −1) (si ≠ 0)y ' = ln(y) (si = 0)Cette méthode, qu'on ne peut pas appliquer à la main, est disponibleen langage R (fonction boxcox). D'autres informations à son sujet, etnotamment des détails de calcul, figurent dans Legendre et Legendre(1984, p. 16-20; 1998: p. 39-45).Données exprimées en proportions ou pourcentages: dans de tellesdonnées, la variance dépend toujours de la moyenne. Pour de tellesdonnées, qui sont souvent platykurtiques (trop étalées), on peut avoirrecours à la transformation arc-sinus de la racine carrée (les donnéesbrutes étant exprimées en valeurs p de 0 à 1):p' = arcsinpExemple (tiré de Sokal & Rohlf, 1981): données de fertilité d'oeufs dela souche CP de Drosophila melanogaster, élevés dans 100 tubes de10 oeufs chacun: