FLEXION D'UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE - mms2

“charge limite” correspondant à la ruine de la structure pardéformation excessive.Si on applique une traction horizontale en plus d’un moment, laforme du tenseur de contrainte est inchangée, mais la ligne neutreest déplacée. On a simplement, en élasticité :σ 11 = σ = Mx 2 /I + P/2bhOn définit donc la limite du domaine d’élasticité par un segment dedroite dans chaque quadrant du plan P–M.On connaît déjà le moment limite en flexion simple. En l’absence demoment, la charge limite en traction est égale à la charge qui produitla première plasticité :P ∞ = P e = 2hbσ yPour trouver les valeurs de P r et M r qui conduisent à la ruine, encas de chargement combiné, il suffit de se placer directement à l’étatlimite (Fig.4a), et d’y écrire l’équilibre des moments et de la forcehorizontale. Cet état est caractérisé par :On écrit alors :si x 2 < a : σ = −σ ysi x 2 > a : σ = σ y .Z aZ hP = −σ y bdx 2 + σ y bdx 2 = −2σ y ab−haZ aZ hM = −σ y x 2 bdx 2 + σ y x 2 bdx 2 = bσ y (h 2 − a 2 )−haEn normant par P e et M e , P r = P e a/h ; M r = 3M e (1−a 2 /h 2 )/2, et ontrouve le diagramme de la figure 4b :M r /M e = (3/2)(1 − (P r /P e ) 2 )M/Me+σ 0ruine de la1 Plast. structureaElastiqueP/Pe−σ 0 1(a)Figure 4 : (a) Profil de contrainte σ 11 pour l’état de charge limite, entraction axiale et flexion pure, (b) illustration des domaines élastique etplastique dans l’espace P–M6. Evaluer la flèche au cours du chargement et la flèche résiduelle.En supposant qu’une section plane reste plane, le champ dedéplacement dans la poutre est de la forme :u 1 = U(s) + θx 2 U(s) désignant le déplacement d’ensemble de la section,θ son angle de rotation,u 2 = V (s) V (s) désignant le déplacement vertical.S’il n’y a pas de cisaillement de type 12, la déformationcorrespondante doit être nulle. On trouve ainsi la relation qui permetde calculer la flèche en connaissant la rotation :u 1,2 + u 2,1 = 0θ +V ,1 = 0La déformation axiale se calcule aisément en fonction de la rotation,puisque :ε 11 = u 1,1 = θ ,1 x 2Dans le cas d’un comportement élastique, le terme θ ,1 s’exprime enfonction du moment appliqué, puisque :1.53(b)

Z +hM = −σ 11 x 2 bdx 2 = EIθ ,1−hEn présence de plasticité parfaite, la rotation continue d’être imposéepar le noyau élastique : une section plane reste plane, et sonorientation est donnée par la pente entre −a et a. Dans cette zone :ε 11 = σ 11 /E = (σ y /E)(x 2 /a)θ ,1 = σ y /EaIl s’ensuit que la courbure V ,11 vaut :– en régime élastique : V ,11 = M/EI– en régime élastoplastique : V ,11 = σ y /EaL’intégration de ces équations pour une poutre simplement posée surses deux extrémités, et de longueur 2L (soit −L ≤ x 1 ≤ L) donne pourexpression du déplacement vertical :– en régime élastique : V = (M/2EI)(L 2 − x 2 1 )– en régime élastoplastique : V = (σ y /2Ea)(L 2 − x 2 1 )La valeur maximale de la flèche est obtenue pour x 1 = 0. Enremplaçant a par son expression en fonction de M pendant le régime4élastoplastique, on trouve l’expression de la réponse globale de lastructure :σ y L 2V = −2Eh √ 3(1 − M/bσ y h 2 )Remarque :Cette expression est cohérente avec celle qui est écrite pour le casélastique lorsque M = M e = (2/3)bσ y h 2La flèche tend vers l’infini lorsque M tend vers M ∞ = bσ y h 2 . Dansce dernier cas, il est clair que l’hypothèse de petites déformationssera en défaut bien avant la rupture, si bien qu’il faut en toute rigueurreconsidérer le calcul.La flèche résiduelle est celle que l’on calcule en superposant aurésultat précédent écrit pour le moment M m celui obtenu lors d’unedécharge élastique de −M m , soit :σ y L 2V = −2Eh √ 3(1 − M m /bσ y h 2 ) + M mL 22EI