Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

92 CHAPITRE 4. ANALYSE DES PHÉNOMÈNES NON-LINÉAIRESqui permet, à condition que la fonction F(x, a) soit suffisamment régulière et que la matriceJacobienne en un point (xi, aj) de l'espace R x R associée à (4.61),F(x,a) = [k](xj,aj), (4.62)ne soit pas singulière, d'attribuer de façon univoque une solution x pour toute valeur du paramètrea dans un voisinage de (xi, ai).La matrice Jacobienne (4.62) peut devenir singulière dans différents cas correspondant parexemple aux points selle ou au point d'intersection de plusieurs branches de solutions. Cesdifférentes situations correspondent toutes à la singularité de la matrice Jacobienne et sontclassifiées en fonction du rang de la matrice {F Fa]- point selle dans le cas où rang([F Fa]) = n,- autres bifurcations si rang([F Fa]) n - 1,où3FFa.Les hypothèses du théorème des fonctions implicites sont alors violées et l'on perd l'assurancede l'existence et de l'unicité de la solution localement au point de bifurcation. Nous supposeronsà présent, que nous disposons d'une solution initiale (xi, a) du problème (4.61)F(x, a) = 0, (4.63)et que F(x, a) satisfait les hypothèses nécessaires.Les méthodes que nous exposerons entrent dans la classe des méthodes de prédicteurcorrecteur.Elles consistent en une paramétrisation du problème, une phase de prédiction, unephase de correction et de contrôle de pas.4.5.1 L'algorithme de continuation séquentielleL'algorithme de continuation séquentielle, sans doute le plus simple, consiste à fixer une subdivisionde l'intervalle balayé par a, définie par les valeurs a0, a1, a2,. . . as. La solution x telleque F(x, a) = O est utilisée comme prédicteur (d'ordre O) pour la solution voisine (x+, a+i).Cette valeur prédite est ensuite corrigée par exemple par une méthode de Newton-Raphson.Cependant, cette technique échoue en présence d'un point selle en fonction du paramètre a correspondantà une valeur acrit à partir de laquelle il ne correspond pas de solution x (Figure 4.3).Cette situation peut être rencontrée lorsque l'on désire calculer une réponse fréquentielle quiprésente un saut et que l'on choisit la pulsation comme paramètre de continuation. La difficultépeut être levée en choisissant une des variables Xk comme nouveau paramètre de continuationet a devient alors une variable déterminée par le correcteur.4.5.2 Algorithme de continuation sur la longueur d'arcLe paramètre de continuation est ici la longueur de l'arc. x et a sont considérés commefonctions de s i.e. x = x(s) et a = a(s). On cherche alors sur la courbe paramétrée par lavariable s une solution (x, a) deF(x(s),a(s)) = 0. (4.64)En dérivant (4.64) par rapport à s, on obtient