Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

4.5. SYSTÈMES ALGÉBRIQUES NON-LINÉAIRES, MÉTHODE DE CONTINUATION91avecw2 = w + A2.En imposant les conditions initiales xj(0) = 0, ±i(0) = O, les deux constantes C1 et C2 setrouvent déterminées avec les valeursCi =0,C2 = _w2,(4.57)(4.58)d'où finalement,A3xi(t) = --w2(cos3wt - coswt).La solution approchée de l'équation (4.48) devient alorsA3x(t) = Acoswt + ji.w2(cos3wt - coswt)(4.59)La relation pulsation-amplitude est donnée enfin, par3A2(4.60)La méthode de Lindstedt-Poincaré nous a permis d'obtenir une solution périodique approchéede l'équation non-linéaire (4.48) en mettant en évidence la dépendance de la pulsation vis à visde l'amplitude et l'apparition d'harmoniques dans les termes d'ordre élevés de l'expression de laréponse temporelle4.5 Systèmes algébriques non-linéaires, méthode decontinuationLes méthodes de résolution de problèmes dynamiques non-linéaires par certaines méthodesd'approximation amènent à la résolution de systèmes algébriques non-linéaires. Ce type deproblème a notamment été rencontré au cours de cette étude lors de l'obtention des modesnon-linéaires sous forme approchée par résolution d'un problème modal non-linéaire, ainsi quedans le calcul des réponses forcées. Le paramètre sera pour nous l'amplitude modale, la pulsationd'excitation ou le niveau de l'excitation dans le cas du calcul de réponses forcées. Ces problèmesaboutissent tous à la résolution d'une ou d'un ensemble d'équations de la forme [52]F(x, a) = 0, (4.61)où x E R est un vecteur d'inconnues à déterminer et a un vecteur de paramètres scalaires.Nous nous limiterons ici à un seul paramètre.Le suivi des solutions du problème (4.61) par rapport au paramètre a est l'objet de certainestechniques que nous allons présenter. Celles-ci, permettent selon leur degré de sophistication, defaire face aux situations susceptibles de se produire dans le cadre des problèmes non-linéaires(solutions multiples, bifurcations,...).Les algorithmes de continuation permettent de suivre les branches des solutions de (4.61)lorsque le paramètre a évolue. Ces méthodes sont basées sur le théorème des fonctions implicites