Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...
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4.5. SYSTÈMES ALGÉBRIQUES NON-LINÉAIRES, MÉTHODE DE CONTINUATION91avecw2 = w + A2.En imposant les conditions initiales xj(0) = 0, ±i(0) = O, les deux constantes C1 et C2 setrouvent déterminées avec les valeursCi =0,C2 = _w2,(4.57)(4.58)d'où finalement,A3xi(t) = --w2(cos3wt - coswt).La solution approchée de l'équation (4.48) devient alorsA3x(t) = Acoswt + ji.w2(cos3wt - coswt)(4.59)La relation pulsation-amplitude est donnée enfin, par3A2(4.60)La méthode de Lindstedt-Poincaré nous a permis d'obtenir une solution périodique approchéede l'équation <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong> (4.48) en mettant en évidence la dépendance de la pulsation vis à visde l'amplitude et l'apparition d'harmoniques dans les termes d'ordre élevés de l'expression de laréponse temporelle4.5 Systèmes algébriques <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s, méthode decontinuationLes méthodes de résolution de problèmes dynamiques <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s par certaines méthodesd'approximation amènent à la résolution de systèmes algébriques <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s. Ce type deproblème a notamment été rencontré au cours de cette étude lors de l'obtention des modes<strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s sous forme approchée par résolution d'un problème modal <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>, ainsi quedans le calcul des réponses forcées. Le paramètre sera pour nous l'amplitude <strong>modale</strong>, la pulsationd'excitation ou le niveau de l'excitation dans le cas du calcul de réponses forcées. Ces problèmesaboutissent tous à la résolution d'une ou d'un ensemble d'équations de la forme [52]F(x, a) = 0, (4.61)où x E R est un vecteur d'inconnues à déterminer et a un vecteur de paramètres scalaires.Nous nous limiterons ici à un seul paramètre.Le suivi des solutions du problème (4.61) par rapport au paramètre a est l'objet de certainestechniques que nous allons présenter. Celles-ci, permettent selon leur degré de sophistication, defaire face aux situations susceptibles de se produire dans le cadre des problèmes <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s(solutions multiples, bifurcations,...).Les algorithmes de continuation permettent de suivre les branches des solutions de (4.61)lorsque le paramètre a évolue. Ces méthodes sont basées sur le théorème des fonctions implicites