Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

4.4. MÉTHODE DE LINDSTEDT-POINCARÉ 89et où les fonctions sont impaires jj) b(r, -1j)), on peut alors construireun système linéaire équivalent en remplaçant chaque liaisonéquivalente selon le schéma7jj) '-+ Cj7jj +où les termes C,j et sont solutions de(rjj, ij) par une liaison linéaireJb cosltdt = cii] ij cosíltdt + Jo o o1T 1T1T bi sin t dt = cjj ij sin t dt +cosíltdt,sint dt.(4.44)Les équations précédentes (4.44) donnent les coefficients de raideur et d'amortissementpour (i,j)(1,... ,n).cij'"birjjdt- frdtfdt= jidt(4.45)(4.46)Linéarisation stochastique équivalente:La procédure de linéarisation générale peut être appliquée dans le cas d'excitations aléatoires[78]. On considérera que p(t) est un processus aléatoire stationnaire Gaussien et les réponses dusystème linéaire équivalent seront également des vecteurs Gaussiens.L'opérateur de moyenne sera dans ce cas le premier moment statistiqueoù E[z] est l'espérance de la variable aléatoire z(t).4.4 Méthode de Lindstedt-PoincaréA(z(t)) = E[z], (4.47)La méthode des perturbations de Lindstedt-Poincaré est souvent utilisée dans l'analyse dessystèmes non-linéaires [55]. Elle consiste à chercher les solutions sous forme d'un développementen série d'un petit paramètre qui est associé à la non-linéarité et à déterminer les termes dudéveloppement par une succession de résolutions linéaires.Nous illustrons cette méthode sur un exemple très classique consistant en un système nonlinéaireautonome conservatif à i degré de liberté et comportant une non-linéarité polynomialecubique. Dans le cadre de l'étude des modes normaux des systèmes non-linéaires à plusieursdegrés de liberté, cette méthode peut être employée pour obtenir une approximation des périodesdes oscillations d'un mode (cf. chapitre 1).L'équation du mouvement de ce système, si l'on considère des oscillations libres sera+ wX + ux3 = 0, (4.48)