Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

88 CHAPITRE 4. ANALYSE DES PHÉNOMÈNES NON-LINÉAIRES4.3.2 Existence et unicité du système linéaire équivalentSi la matrice A[yty] est définie positive, les solutions C et K de l'équation (4.42) existent defaçon unique. Nous énoncerons alors le théorème suivant [78]Théorème 4.3.1 (conditions d'unicité de la linéarisation équivalente) Si U est un espacevectoriel de solutions de dimension s sur le corps des réels, la matrice A[yty] est singulièresi et seulement si s < 2n. Autrement dit, la solution est unique si le nombre de fonctions x(t)et (t) linéairement indépendantes de U est supérieur ou égal à 2m.La démonstration tient aux propriétés de l'opérateur A(.). En effet, supposons que A[yty]est singulière, on a alorsA[yty]u = O avec u 0, (4.43)en pré-multipliant paret par linéarité de A, on aA{(tyu)2] = O,d'où tyu O d'après les propriétés de l'opérateur A(.). Ceci montre que les composantes de ysont liées et donc que s < 2n. Réciproquement, si on a O avec u 0, on a alors yty 0,d'où:A[ytyu] = A{yty]u = 0,et donc A[yty] est singulière.Nature de l'extremumLes quantités E,? sont des formes quadratiques des variables et En considérantun développement en série de Taylor au voisinage d'un optimum défini par et pour(i, j) E (1,... , n), on montre que la condition d'unicité (s 2m) est équivalente à celle de l'existenced'un minimum absolu pour le problème (4.39).Lorsque la solution n'est pas unique (s < 2m), les solutions obtenues donnent la même valeur aucritère et aucune des solutions n'est meilleur qu'une autre au sens de (4.39).4.3.3 Construction du système linéaire équivalentOn se place dans le cas du système décrit par (4.35) et d'une excitation harmoniqueet l'opérateur de moyenne serap(t) = P cosA[z(t)] =lTz(t)dt.Dans le cas où les composantes du vecteur de forces non-linéaires f(x, ±) sont de la formef(x,±) =bj(ríj,ij),avec= -