Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

4.3. MÉTHODE DE LA LINÉARISATION ÉQUIVALENTE 87Propriété 4.3.3 (Moyenne des matrices de fonctions) Si Z est une matrice de fonctionsz(t), les entrées de la matrice moyennée A(Z) sont= A(zjj(t)).Propriété 4.3.4 (Défini-positivité de l'opérateur A(.))A(z2(t)) > O Vz(t) O,A(z2(t)) = O z(t) O.Le critère sera le plus souvent basé sur la norme Euclidienne et une moyenne sur un intervallede temps. Ce choix facilite les développements analytiques. D'autres critères sont envisageablesmais il semble qu'ils donnent tous des résultats comparables [34J.Les conditions nécessaires d'optimalité du critère (4.39) se traduisent par les deux conditionssuivantes à remplir de façon simultanéeI1A(IkI) 0,I 4(IIII) = 0,(4.40)pour tout couple (i,j) avec i,j E [1,... ,n}, n étant la dimension des systèmes (4.35) et (4.36),et cii et étant les entrées des matrices C et K respectivement (et Ich2 cc ). Si l'on pose=ne dépend que de et pour (j = 1,... ,n). Ainsi, les conditions (4.40) sont équivalentesaux 2n conditions simultanées sur les E( 5 r'2 2J-.;.Jii Ei -1 fE(c)= 0, (j=1,...,n)(4.41)pour (i = 1,... ,n). En utilisant (4.37) et les propriétés de A, l'ensemble des 2m équations (4.41)s'écritavec y le vecteur de taille 2n, défini par[tKlA[ytg(y)] - A[yty] = 0, (4.42)Hciet la fonction g(.) définie par(x'\ I, \XJg(y) = f(x,).Se pose alors le problème de la résolution du système (4.42) enet