Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

86 CHAPITRE 4. ANALYSE DES PHÉNOMÈNES NON-LINÉAIRES4.3 Méthode de la linéarisation équivalenteLe concept de linéarisation équivalente a été introduit initialement par Krylov et Bogoliubov[55] pour un système à un degré de liberté. Plus tard, cette idée a été étendue au cas de systèmespossédant plusieurs degrés de libertés [78], [34], afin de fournir un moyen efficace et applicabledans des cas concrets, pour obtenir des solutions approchées correspondant aux oscillations enrégime permanent de systèmes non-linéaires. L'idée de base de cette méthode est de remplacerun système dynamique non-linéaire par un système linéaire équivalent au sens de l'optimumd'un critère de différence entre ces deux systèmes.4.3.1 Principe général de la méthodeOn considère un système dynamique non-linéaire gouverné par le système d'équations suivant:Le système linéaire équivalent au système (4.35) est notéM + f(x, i) = p(t). (4.35)MI + Kx + Cth = p(t), (4.36)où C et K sont des matrices indépendantes de la variable t. Elles sont déterminées de tellesorte que la différence entre les systèmes (4.35) et (4.36) soit minimum pour toute fonctionx(t) appartenant à l'ensemble U des solutions du système (4.36). Cette différence est expriméepar:= f(x, ±) - Cth -Kx, (4.37)avecet le critère de minimisation est exprimé par/ q2en /(4.38)Vx(t) E U, {C*,K*} = argmin{A(lI2)}. (4.39)où A est un opérateur linéaire de "moyenne temporelle" vérifiant les propriétés suivantesPropriété 4.3.1 Indépendance de A[z(t)] par rapport à tdA{z(t)]-dtPropriété 4.3.2 (Linéarité de l'opérateur A(.)) Si u(t) et v(t) sont deux fonctions, on a:A[u(t) + v(t)J = A[u(t)] + A[v(t)].