Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

4.2. PHÉNOMÈNES NON-LINÉAIRES 85Dgui2 + WU12 = 2iwi(A' + iAi)ew1T0 + ci (A1A2e1+2)To + AA2ei2)1)T0) + te,(4.30)Dgu22 + wU22 = 2iw2(A' + /i2A2)e2T0 + a2(Ae21T0 + AA1) + te, (4.31)où tc désigne le conjugué des termes qui le précèdent dans les second membres. Lorsque w2 =2wi + Eu, la condition d'annulation des termes séculaires se traduit par- 2iwi(A + jiAi) + oiAA2eT1 = 0,2iw2(A'2 + ji2A2) + a2Ae_T1 = 0. (4.32)En effectuant le changement de variables A = et 'y = 02 - 20 + uT1, puis en neconsidérant que la solution stationnaire (a = 'y' = 0) on obtientfla1+--ala2s1n('y) = 0,4wa22i2a2 + a1 sin('y) = 0,4w2-a2 - -a1 cos(y) + ua2 = 0.(1 2 2 22w14w2(4.33)d'où on obtient en éliminant 'y à l'aide des deux premières équations de (4.33)a + 2w2a1a = 0. (4.34)u'w'a2Si a1 et a2 sont de signes différents, al et a2 admettent une solution non nulle. Dans cecas, la solution libre existe et est semblable au comportement d'un système auto-entretenu. Onnotera qu'il y a dans le cas de la résonance interne, un échange d'énergie entre les modes.