Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

4.2. PHÉNOMÈNES NON-LINÉAIRES 834.2.6 Résonance interneLes phénomènes non-linéaires cités précédement apparaissent également pour des systèmes àplusieurs degrés de libertés, mais il en existent d'autres, qui concernent exclusivement ces dernierscomme le phénomène de résonance interne. Les conditions d'occurance des résonances internessont réunies lorsque la partie linéaire du système possède des pulsations propres wi, w2,... , w,commensurables, c'est à dire vérifiant une relation du typePlwI +J12W2 + .. . +PnWn 0, (4.25)où les p sont des entiers relatifs. On pourra avoir par exempleW2 2wi, W2 3w1, W3 2W2 W, W4 W3 F w2En fonction du type de la non-linéarité (quadratique, cubique, ...), ces relations de cornmensurabilité,peuvent occasionner un couplage fort des modes qui correspond au phénomènede résonance interne. Pour un système oscillant librement en condition de résonance interne,l'énergie qui peut être confinée sur un mode à un instant initial, s'échangera ensuite continûmententre les modes commensurables entre eux.Pour un système en excitation harmonique forcée de pulsation 1, il peut exister des résonancesdites en combinaison en fonction de l'ordre de la non-linéarité. Pour une non-linéarité cubique,les résonances en combinaison concernant 2 ou 3 modes se traduiront par exemple par:w wm wj, 2w wm , Il (w wm).Le phénomène de résonance interne est associé au phénomène de saturation : dans ce cas,on peut montrer par une analyse à l'aide d'une méthode de perturbations, que lorsqu'un modeest excité par une force, et que le niveau de cette force est progressivement augmenté jusqu'àune certaine valeur critique, il se produit une instabilité (bifurcation de Hopf). Un autre modeest alors excité et l'énergie du premier arrive à saturation.Ce phénomène à été étudié en détail analytiquement, et expérimentalement pour la premièrefois par Haddow, Barr et Mook [20] pour un système à deux degrés de liberté et possédant unenon-linéarité quadratique. Lors de cette expérience, le système est excité sur son deuxième mode(à 16 Hertz), et pour des niveaux relativement faibles, la réponse est dominée par ce mode dontl'amplitude modale est proportionnelle à la force : on alors un comportement linéaire. Si leniveau de force est supérieur à la valeur critique, et que le système est initialement au repos, laréponse reste d'abord dominée par le mode excité, mais progressivement, l'amplitude du premiermode (à 8 Hz) augmente au cours du temps alors que celle du mode à 16 Hz décroît jusqu'àune amplitude de saturation. La réponse est alors une combinaison des deux modes et peut êtrefortement dominée par le mode non-excité directement (Figure 4.2).