Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

82 CHAPITRE 4. ANALYSE DES PHÉNOMÈNES NON-LINÉAIRESLa relation définissant l'amplitude est alors obtenue à partir des équations qui précèdenta.\2 3au-3-----a 2")2Ja =w0{2+(8w0/et la solution de l'équation (4.1) est alors de la forme suivantew(4.19)u = acos(32t - y) + f(w2 - 122)_1 cos(llt) + O(). (4.20)On peut de même, mettre en évidence la présence de saut dans le cas de surharmonique.4.2.5 SousharmoniqueL'apparition de sousharmonique se montre de manière analogue. On pose alors pour lesétudier, 12 = 3w0 + o- et F f. Le système alors obtenu pour les paramètres a et 'y de lasolution sonta3cA= a sin(-y) 24w09cA2 9ci 9aA 2(u - - )a - a = a cos('y).w0 8w0 4w0(4.21)La réponse du système s'exprime alors sous la formeu = acos((12t - y)) + f(w - 122)_1 cos(12t) + O().(4.22)L'équation fournissant l'amplitude en fonction des paramètres du système pour une fréquenced'excitation donnée est cette fois[92 + (u,2 22_a2)Ja2iw a2. (4.23)Celle-ci possède la solution triviale a = O et les autres solutions sont déterminées en résolvantl'équation bicarréePour p > 0 et p2q, avec9\2 9û 2 81a2A2 29ii2+(u a) a.w0 8w0 16w(4.24)p=8w0u A2 64w0It9&q = 81a(92 + (u9aA2 )2)w0la solution esta2 p p2 q.Dans les autres situations, seule la solution a = O existe. On a alors une condition qui régitl'apparition du sousharmonique, fait nouveau par rapport au cas du surharminique. On montrequ'il n'y a qu'un seul point singulier stable correspondant aux solutions de (4.21) différent de lasolution a = 0. On a donc pas le phénomène de saut que l'on observe sur un surharmonique.