Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

78 CHAPITRE 4. ANALYSE DES PHÉNOMÈNES NON-LINÉAIRESqui revient à supprimer les termes en eoT0 dans l'équation (4.7). Afin de résoudre (4.8), nousintroduisons la notation complexeA=avec a et ß réels, ainsi que 'y = ciT1 - ß. En séparant la partie réelle et imaginaire, nous obtenonsle systèmea' = ja + sin(-y),2w03a'y' = cia - a + cos8w0 2w0('y).(4.9)La réponse correspondant au régime stationnaire du système (4.1) est obtenue lorsquea' = = 0,ce qui correspond aux points singuliers du système différentiel (4.9). On a doncjia = _L_. sin('y),2w03acia-----a = ----cos('y). fow0w0(4.10)Les équations (4.10) permettent d'obtenir l'expression de a en fonction des paramètres de(4.1) après élévation au carré et sommation3c\28w0a2) ja =2 f2(4.11)L'équation (4.11) est implicite en a, et est appelée "équation de réponse fréquentielle".L'approximation de la réponse stationnaire de (4.1) à l'ordre par la méthode des échellesmultiples est alorsu = acos(w0t + ait - 'y) + O(). (4.12)La courbe de réponse en fréquence est obtenue en traçant a en fonction de ci, ou à l'inverse,exprimant ci en fonction de a à partir de (4.11)3ao=a 28w0f2J 24wa2 "(4.13)L'amplitude du pic en fréquence est donc donnée par amax = et sa position se trouvesur la parabole ci = -a2. La non-linéarité a pour effet de "courber" les pics de résonance versla gauche ou vers la droite selon le signe du paramètre a (respectivement a < O ou a > 0) et dedistordre la phase 'y (Figure 4.1). En fonction des paramètres ci, ji et f, les courbes de réponsespeuvent être univaluées ou multi-valuée.