Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

4.2. PHÉNOMÈNES NON-LINÉAIRES 774.2.1 Réponse en résonance principale, solutions multiplesLa résonance principale correspond à la situation w0QQ = w0 + a. (4.2)La théorie linéaire prédit pour un système non-amorti, des oscillations d'amplitude infinielorsque a = O. Les amplitudes sont en fait limitées dans le cadre de (4.1) par l'amortissement etla non-linéarité. Il est ainsi naturel de faire intervenir la force d'excitation avec le même ordre enque pour l'amortissement et la non-linéarité. Nous poserons donc F = Ef avec f indépendantde .Conformément à la technique des échelles multiples [55], la solution est exprimée selondifférentes échelles de temps selonavec T0=tet T1 =tet,u(t,E) = u0(T0,Ti)+ EU1(T0,Ti) +..., (4.3)Fcos(Qt) = fcos(w0T0+aTi). (4.4)En substituant les expressions (4.3) et (4.4) dans l'équation (4.1) et en regroupant les termesde même ordre en , ri obtient le système suivantoùDu0+wu0 = O,Du1 + wu1 = 2D0D1u0 - 2aD0u0 - cu + f cos(w0T0 + aTi), (4.5)=, i .La solution générale de la première équation du système (4.5) peut être exprimée sous laformeu0(T0,Ti) = A(Ti)ew0T0 +A(Ti)e_0T0, (4.6)où A désigne le complexe conjugué de A.Cette solution est ensuite substituée dans la deuxième équation de (4.5), ce qui fournitDu1 + wu1 = [2iw0(A' + A) + 3cA2A]ew0T0_aA3e(3w0T0) + ei(woTo+T1) + te, (4.7)où tc désigne les termes conjugués analogues à ceux qui le précèdent dans le membre de droite,et où le signe / désigne la dérivée selon T1 = t. Les solutions de (4.7) contiennent des termesséculaires qui sont de la forme tm cos(wt + f3). Ceux-ci ne sont donc pas périodiques et afin deles supprimer, il convient d'introduire la condition supplémentaire2iw0(A' + A) + 3cA2Ae1c7T1 = o, (4.8)