Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

74 CHAPITRE 3. SYSTÈMES DISSIPATIFS FAIBLEMENT NON-LINÉAIRESAfin de déterminer les fonctions h, l'expression (3.24) est substituée dans l'équation (3.21)en utilisant (3.25) afin d'obtenir(Oh 5h - (0h 8h -Wi - + w2 j2 - wh =i2wh2, h2, ..., h, h) + (3.25)(i=3,...,n).Les fonctions h sont cette fois cherchées sous formes de développements polynomiaux de laformeh = A3? + + + + + A8Ç?1 + A9(1? ++ + Al2(22 + A'3( + A'4ç1 + A15Ç2 + Al6222 +A171Ç2 + A181 + + A201 + + A22? ++ + + + A27Ç1Ç + A281 +A29122 + A30 122 + + A321 +(i=3,...,rz).De même, les coefficients sont déterminés en égalisant les monômes de même puissance. Aprèsrésolution, ceux-ci ne font plus apparaître de singularités dues aux résonances internes des deuxmodes initiaux. Il peut subsister cependant des termes singuliers provenant de résonance encombinaison entre ces modes et un troisième. On aura alors aux dénominateurs, des termes dutype wj - 2wi ± W2, w - wi ± 2w2,...Il convient alors de prendre en compte les modes en interaction en augmentant la dimensiondu multi-mode si l'on désire prendre en compte l'un d'eux dans la dynamique. Les résonancesinternes dans un groupe de modes couplés entre eux, non-pris en compte dans la dynamique,n'affectera pas les autres modes par invariance du multi-mode [71].3.7 ConclusionCette méthode permet de souligner l'utilité des modes non-linéaires pour la réduction dessystèmes par la propriété d'invariance. Ces modes peuvent être utilisés efficacement lors d'uneprocédure approchée de synthèse modale pour l'analyse des réponses libres par simplification descouplages dans les équations écrites en base modale non-linéaire. La méthode permet la détectiondes résonances internes dans lequel cas les modes concernés ne peuvent pas être découplés etdoivent être pris en compte sous forme d'un multi-mode dans la dynamique du système. Cettedétection dépend du degré de développement de l'approximation en série pour les variétés.Certains auteurs [58], ont mis en évidence certaines limites d'applicabilité de cette méthode,qui interviennent lorsque les équations du système possèdent des termes dits "mixtes". C'est lecas pour l'exemple de système à deux degrés de liberté suivantï1 + wx + ík3x1x = 0, (3.26)X2 + WX2 + k3xx2 = 0. (3.27)