Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

3.6. RÉSONANCES INTERNES 731(Ç', ,2w(i = 2, ..,n).h2(1, (i), h2(Ç1, (i), ..., h(1, ei), h(1, ci)) + ...Les fonctions h sont recherchées sous formes de développements en puissances= A3? + A4ç + + A6( + + + +(i=2,...,n).Comme plus haut, les coefficients de la série sont calculés en substituant celle-ci dans(3.23) et en regroupant tous les termes de l'équation selon les monômes de même puissance.L'annulation des coefficients fournit un système d'équations dont les inconnues sont lesL'expression ainsi approchée des fonctions h est alors substituée dans la première (i = 1)équation de (3.21) qui donne alors la dynamique du système sur la variété correspondant aupremier mode non-linéaire. L'expression (3.20) est utilisée pour revenir aux coordonnées u.Cette formulation complexe est aussi plus adaptée à l'application de la méthode des formesnormales [56] pour la simplification de l'équation (3.21) de la dynamique du système sur lavariété. On calcul enfin la période de l'oscillation sur le mode non-linéaire par les méthodesapprochées exposées dans le chapitre 4).3.6 Résonances internes(3.23)Les développements précédents donnent, après résolution, les coefficients sous forme defractions où apparaissent aux dénominateurs des combinaisons entières des pulsations propresdu système conservatif linéaire. On a par exemple [56] des coefficients de la formeou bien,AP_iWi - WiA i_ 3wi - Wioù les À sont des coefficients qui dépendent du système.Les coefficients du développement sont alors ici singuliers dans le cas de résonances internes"1-1" ou "3-1" (voir plus loin le chapitre 4).Cependant, la méthode de la variété invariante a été étendue par certains auteurs, pourtraiter le cas de résonances internes dans sa formulation en variables réelles [7], et en variablescomplexes [53]. Dans le cas de la formulation à l'aide des nombres complexes, la résonanceinterne entre deux modes, sera traitée en introduisant une variété de dimension 4 (2M pour Mmodes en général). Si l'on suppose que ses deux modes sont le premier et le deuxième, elle seraparamétrée par ( et (2 et on aura [53](j(t) = hi((l,l,(2,Ç2), (i = 3, ...,n). (3.24)La dynamique sur cette variété de dimension 4 est alors gouvernée par deux équations quel'on ne peut pas découpler (on parle alors de multi-mode [71])= iw1(1 +(2(t) = 1W2(2 + g2((1, (i, (2, (2),¿W2