Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

72 CHAPITRE 3. SYSTÈMES DISSIPATIFS FAIBLEMENT NON-LINÉAIRESAinsi, nous voyons qu'une condition initiale (Ui = 0, ti1 0) laisse la première coordonnéenon-linéaire u1 au repos alors que dans la première équation modale en base linéaire, le deuxièmemode peut venir exciter le premier par les termes de couplages avec la même condition initiale.Les modes non-linéaires permettent donc de mieux maîtriser la réduction de la taille des systèmespar troncature grâce à cette propriété d'invariance.3.4.3 Synthèse modale de la réponse libreDans [72], est proposé une méthode de superposition modale pour un système non-linéaireautonome pour des conditions initiales données (z(0) = z0). Les participations des différentsmodes non-linéaires sont calculées en utilisant la relation (3.11) (avec z = zo). Ensuite, leséquations (3.6) correspondant à chaque mode sont intégrées en négligeant les termes de couplage.On recompose ensuite la solution à l'aide de l'équation (3.9). Sans justification [72], on constateune très bonne approximation par rapport à une intégration numérique du système complet surplusieurs exemples et une nette amélioration par rapport à la démarche analogue utilisant lesmodes linéaires et en forçant les découplages des coordonnées modales linéaires.3.5 Variétés complexesUne formulation dans le domaine complexe plus compacte a été introduite [56], sur unsystème continu discrétisé. Nous supposons que l'équation du système peut se mettre sous laforme suivante par projection sur la base modale linéaireet nous introduisons le changement de variable:ü+wu+g(u,iL)=O, (i=1,...,n), (3.19)u(t) = (t) + (t), n(t) = iw(c(t) - j(t)), (i 1, ...,n), (3.20)où les (t) sont complexes et i2 = 1.Les variables e(t) permettent de ramener l'équation (3.19) à une équation différentielle dupremier ordrej(t) = iw(t) + (i = 1,...,n), (3.21)où la fonction § est composée de g et du changement de variable (3.20).La paramétrisation du mode non-linéaire tangent par exemple au premier mode linéaire estalors effectuée en utilisant la paire de variables complexes ((i, i) telle que= h(ç1,ç1), (i = 2,...,n), (3.22)et où les h sont des fonctions de variables complexes telles que h(0, 0) = O et d'ordre au moinsquadratique. En substituant (3.22) dans (3.21) les fonctions h apparaissent comme solutions duproblème5h- -wi-i wi--( wh(i,(i) =