Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...
Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...
Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
72 CHAPITRE 3. SYSTÈMES DISSIPATIFS FAIBLEMENT NON-LINÉAIRESAinsi, nous voyons qu'une condition initiale (Ui = 0, ti1 0) laisse la première coordonnée<strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong> u1 au repos alors que dans la première équation <strong>modale</strong> en base <strong>linéaire</strong>, le deuxièmemode peut venir exciter le premier par les termes de couplages avec la même condition initiale.Les modes <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s permettent donc de mieux maîtriser la réduction de la taille des systèmespar troncature grâce à cette propriété d'invariance.3.4.3 Synthèse <strong>modale</strong> de la réponse libreDans [72], est proposé une méthode de superposition <strong>modale</strong> pour un système <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>autonome pour des conditions initiales données (z(0) = z0). Les participations des différentsmodes <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s sont calculées en utilisant la relation (3.11) (avec z = zo). Ensuite, leséquations (3.6) correspondant à chaque mode sont intégrées en négligeant les termes de couplage.On recompose ensuite la solution à l'aide de l'équation (3.9). Sans justification [72], on constateune très bonne approximation par rapport à une intégration numérique du système complet surplusieurs exemples et une nette amélioration par rapport à la démarche analogue utilisant lesmodes <strong>linéaire</strong>s et en forçant les découplages des coordonnées <strong>modale</strong>s <strong>linéaire</strong>s.3.5 Variétés complexesUne formulation dans le domaine complexe plus compacte a été introduite [56], sur unsystème continu discrétisé. Nous supposons que l'équation du système peut se mettre sous laforme suivante par projection sur la base <strong>modale</strong> <strong>linéaire</strong>et nous introduisons le changement de variable:ü+wu+g(u,iL)=O, (i=1,...,n), (3.19)u(t) = (t) + (t), n(t) = iw(c(t) - j(t)), (i 1, ...,n), (3.20)où les (t) sont complexes et i2 = 1.Les variables e(t) permettent de ramener l'équation (3.19) à une équation différentielle dupremier ordrej(t) = iw(t) + (i = 1,...,n), (3.21)où la fonction § est composée de g et du changement de variable (3.20).La paramétrisation du mode <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong> tangent par exemple au premier mode <strong>linéaire</strong> estalors effectuée en utilisant la paire de variables complexes ((i, i) telle que= h(ç1,ç1), (i = 2,...,n), (3.22)et où les h sont des fonctions de variables complexes telles que h(0, 0) = O et d'ordre au moinsquadratique. En substituant (3.22) dans (3.21) les fonctions h apparaissent comme solutions duproblème5h- -wi-i wi--( wh(i,(i) =