Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

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70 CHAPITRE 3. SYSTÈMES DISSIPA TIFS FAIBLEMENT NON-LINÉAIRESSoit, sous forme plus compacteoù la matrice m0 correspond au mode linéaire écrit avec le paramétrage déplacement-vitesse,et m1, m2, définissent les termes quadratiques et cubiques du mode non-linéaire.A chaque mode est associé un couple (u, v)k et la "matrice modale non-linéaire" M estconstituée en assemblant les expressions (3.8). La transformation reliant le vecteur de coordonnéesmodales w constitué de l'assemblage des (u, v)k(3.8)et les coordonnées physiques z s'écrironttw = [(u,v)1 (u,v)2 . . . (u,v) . . .z = M(w)w= {Mo + Mi(w) + M2 (w) }w + (3.9)avec à titre d'exemple M0 = [mLa "projection" de z sur les modes s'effectue eninversant la transformation (3.9). Cette opération s'effectue approximativement, en tronquantles développements polynomiaux à un certain ordre dans toutes les relations et en utilisant ledéveloppement en série matricielle . Nous précisons cette procédure dans le cas où l'expression(3.9) ne contient que des termes cubiques (Mi = 0), le cas général étant traité dans la référence[72]. La relation (3.9) est pr&multipliée par l'inverse de la somme des matrices ne contenant quedes termes au plus cubiques, ce qui donne:soit, après un développement en sériew = {Mo+M2(w)}'z+...= {I + M'M2(w)}'M'z +w = {I - M'M2(w)}M1z +... (3.10)où I est la matrice identité 2n x 2m.L'équation (3.10) est réinjectée dans elle même pour y substituer w. Les puissances de z sontdéveloppées. Comme M2(w) est quadratique, la dépendance en w du second membre de larelation (3.10) est repoussée à l'ordre supérieur. Nous avons donc la relation suivante entre wet z, à l'ordre 3w = {I - M'M2(M'z)}M'z +... (3.11)qui constitue la transformation de passage des coordonnées physiques aux coordonnées modales.La méthode se ramène à la superposition modale linéaire habituelle lorsque les amplitudestendent vers zérow = M'z (3.12)
3.4. ANALYSE MODALE 713.4.1 Equations en base modale non-linéaireLes équations du mouvement peuvent être exprimées à l'aide du vecteur des coordonnéesmodales w et nous les récrivons d'abord sous la forme suivante [72]z = A(z)z = {Ao + Ai(z) + A2(z)}z + ... (3.13)où Ao définit le système linéarisé autour du point z = O, et Ai(z)z, A2(z)z sont les termesnon-linéaires quadratiques et cubiques. La transformation (3.9) est notéela dérivée temporelle donne doncz Ñ1(w), (3.14)z= aM (3.15)Ow (w)]Par substitution de ces expressions dans (3.15) et inversion de la matrice Jacobienne, nousavons= A(Ñ.I(w))P1(w), (3.16)qui constitue l'équation de la dynamique du système en coordonnées modales.Ces équations couplent les coordonnées modales (n, v) correspondant à chaque mode. Leséquations de ce système sont de la forme (3.6) avec en plus des termes de couplages. Lorsqu'onannule ces termes de couplage, on retrouve en fait les équations correspondant à chacun desmodes non-linéaires.3.4.2 Réduction du systèmeLes développements en série des modes et l'écriture des équations en coordonnées modalesnon-linéaires (3.15) font apparaître l'intérêt des modes non-linéaires dans la réductiondes systèmes. Les équations (3.15) correspondant à l'écriture du système en base modale nonlinéairessont couplées comme celles exprimées dans la base linéaire.Cependant, les équations (3.15) font apparaître dans la pratique, la propriété remarquabled'invariance qui se traduit par le fait que seuls les modes (non-linéaires) excités initialementparticiperont à la réponse. Ce qui n'est pas le cas des modes linéaires à causes des effets decouplage.Afin d'illustrer ce propos, un exemple de système à 2 degrés de liberté dissipatif, donné dans[72] donne en base modale linéaire les équationsu1 + s1u1 + S2U1 + S3(Ul + u2)3 + s4(ñ1 + ù2)(ui + u2)2 = O,U2 + 52 + S6U2 + s7(ui + u2)3 + ss(ñi + ù2)(ui + U2)2 = 0, (3.17)où les Sk sont des constantes, alors qu'en coordonnées modales non-linéaires, le système a laformeül+ulfl(u1,ùl,u2,ù2)+itlgl(ul,ùl,u2,1t2) = 0,u2 + u2f2(ul,ül,u2,ù2) + u2g2(Ul,ul,u2,u2) = 0. (3.18)
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RESUME:L'introduction de l'analyse
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