Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

70 CHAPITRE 3. SYSTÈMES DISSIPA TIFS FAIBLEMENT NON-LINÉAIRESSoit, sous forme plus compacteoù la matrice m0 correspond au mode linéaire écrit avec le paramétrage déplacement-vitesse,et m1, m2, définissent les termes quadratiques et cubiques du mode non-linéaire.A chaque mode est associé un couple (u, v)k et la "matrice modale non-linéaire" M estconstituée en assemblant les expressions (3.8). La transformation reliant le vecteur de coordonnéesmodales w constitué de l'assemblage des (u, v)k(3.8)et les coordonnées physiques z s'écrironttw = [(u,v)1 (u,v)2 . . . (u,v) . . .z = M(w)w= {Mo + Mi(w) + M2 (w) }w + (3.9)avec à titre d'exemple M0 = [mLa "projection" de z sur les modes s'effectue eninversant la transformation (3.9). Cette opération s'effectue approximativement, en tronquantles développements polynomiaux à un certain ordre dans toutes les relations et en utilisant ledéveloppement en série matricielle . Nous précisons cette procédure dans le cas où l'expression(3.9) ne contient que des termes cubiques (Mi = 0), le cas général étant traité dans la référence[72]. La relation (3.9) est pr&multipliée par l'inverse de la somme des matrices ne contenant quedes termes au plus cubiques, ce qui donne:soit, après un développement en sériew = {Mo+M2(w)}'z+...= {I + M'M2(w)}'M'z +w = {I - M'M2(w)}M1z +... (3.10)où I est la matrice identité 2n x 2m.L'équation (3.10) est réinjectée dans elle même pour y substituer w. Les puissances de z sontdéveloppées. Comme M2(w) est quadratique, la dépendance en w du second membre de larelation (3.10) est repoussée à l'ordre supérieur. Nous avons donc la relation suivante entre wet z, à l'ordre 3w = {I - M'M2(M'z)}M'z +... (3.11)qui constitue la transformation de passage des coordonnées physiques aux coordonnées modales.La méthode se ramène à la superposition modale linéaire habituelle lorsque les amplitudestendent vers zérow = M'z (3.12)