Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

3.4. ANALYSE MODALE 69Yj(u, y) = b0 + b1u + b2v + b3u2 + b4uv + b5v2 + b6u3 + b7u2v + b8uv2 + b9v3 +(3.5)Les séries (3.5) sont tronquées à un certain degré et substituées dans (3.4). Les termessont rassemblés selon les puissances des monômes en pour fournir un nouvel ensembled'équations algébriques que l'on cherchera à résoudre afin d'obtenir les coefficients aj2 et bkj. Lescoefficients a1, a2, b1, b2 correspondant aux modes linéaires sont déterminés en premier lieu parune méthode standard de calcul des solutions propres d'un système linéaire. En substituant lesvaleurs trouvées dans le système algébrique, on détermine de proche en proche, les coefficientsdes monômes de degrés plus élevés par résolution d'un problème linéaire à chaque étape. Unefois obtenues les fonctions réelles X et , leurs expressions sont substituées dans l'équation(3.1) afin d'obtenir l'équation dynamique de l'oscillation en mode normal:u == gi(u,X2(u,v),... ,X(u,v);v,Y2(u,v),...,Y(u,v)). (3.6)Les équations du type (3.6) correspondent à chacun des modes du système linéarisé autourde chaque point d'équilibre et peuvent être résolues par les méthodes classiques (voir méthode deLinstedt-Poincaré, méthode des échelles multiples dans le chapitre 4). Les coefficients constantsa0 de l'équation (3.5) permettent de prendre en compte des solutions translatées par rapportà l'origine correspondant à la multiplicité des points d'équilibre que peut engendrer la nonlinéarité.Dans le cas particulier de modes réels linéaires, on auraavec= au + a2v, u bu + b2v,a2 = O, b1 = O, a1 = b2,pour (i = 2, ..., n). Si ces coefficients n'ont pas cette particularité, le mode est complexe.3.4 Analyse modaleLes coordonnées modales non-linéaires peuvent être utilisées pour représenter des solutionsgénérales aux équations du mouvement de façon approchée. La méthode que nous allons exposerse réduit à la superposition modale de modes linéaires si le système est linéaire et peut doncêtre considérée comme une extension de celle-ci. Les modes sont notés sous forme matricielle dela façon suivante en notant z (ulv1U2v2...uv)z=a1 a22b12 b22 +amb1i O_ O O O OO i O O O Oa2nb2a3n + a42vb32u + b42va52vb52va3nu+a4nv a5va3u + b4v b5v+a62u2 + a82v2b62u2 + b82v2a6u2 + av2a6nu2 + b8v2a72u2 + a92v2b72u2 + b92v2a7u2 + a9v2b7u2 + b9v2\V) 1+...(3.7)