Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

Chapitre 3Systèmes dissipatifs faiblementnon-linéaires3.1 IntroductionUne définition de mode a été introduite par Shaw et Pierre [71], [72], dans le cadre de systèmesdynamiques discrets à n degrés de liberté, dissipatifs, linéarisables autour d'un point d'équilibre(i.e. faiblement linéaires). Cette méthode a été également appliquée aux cas de systèmes continuspar les mêmes auteurs dans [73]. Les modes sont vus comme des surfaces de l'espace des phaseset paramétrées par deux variables de déplacement et de vitesse. Cette définition s'accompagned'une technique particulière empruntée à celle utilisée dans la théorie de la variété centrale [12]pour l'obtention de ces variétés localement à un point d'équilibre par un développement ensérie. L'existence de variétés centrales invariantes dans l'espace des phases pour les systèmesdifférentiels discrets non-linéaires est connue [12]. Ces variétés sont utilisées dans la réductionpour l'étude de la stabilité et des bifurcations. Lorsque le paramètre de bifurcation prend savaleur critique, la théorie de la variété centrale fournie une approximation sous forme de sériede la variété invariante, c'est à dire essentiellement une hypersurface, sur laquelle se produitla bifurcation. Elle permet d'obtenir un système d'équations différentielles qui décrit la dynamiquepar un système réduit au voisinage de la bifurcation. Cette technique permet égalementde reconstruire d'une manière approchée, des solutions générales du système dynamiques enoscillations libres à partir de ces modes selon ce qui est considéré par les auteurs [72] commeune extension de la technique de superposition.3.2 Modes et variétés invariantes réellesLa méthode est originellement formulée à l'aide de variétés réelles [72] en écrivant toutd'abord les équations dynamiques sous forme d'un système du premier ordre dans l'espace desphasesùi = vi,iii = gj(ul,u2,...,un;vl,v2,...,vn), (i = 1,...,n). (3.1)Les fonctions gj représentent des forces non-linéaires linéarisables et développables en série deTaylor au voisinage du point d'équilibre. Le mouvement du système est décrit par les couples67