Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

m2x2+c2x2+k2(x2xl)+k3(x2x3)+a2(x2---xl)3+a3(x2x3)358 CHAPITRE 2. APPROXIMATION DES MODES NON-LINÉAIRES2.6 Exemples, calcul des réponses forcées2.6.1 Méthode de sommation des modes isolésAfin d'illustrer la méthode de synthèse des réponses fréquentielles de systèmes non-linéairesnous reprendrons le système dynamique (2.57). La méthode procède par simple superposition descontributions provenant de chacun des modes non-linéaires dont les amplitudes sont déterminéespar la méthode du mode non-linéaire isolé (single non-linear mode method). Afin de réaliser lasynthèse des réponses, les paramètres modaux de ce système sont lissés au moyen de fractionsrationnelles pour les trois modes non-linéaires de ce système.Nous introduisons trois éléments dissipatifs et une force d'excitation harmonique dans lesystème (Figure 2.16) selon les équationsm151 + c1b1 + k1x1 + k2(xi - X2) + cx + a2(xi x2)3m3x3 + C33 + k3(x3 - x2) + a3(x3 - X2)3===Fsin(ìt)o0 (2.102)k1 k2 k3cl//m2C3m3FIG. 2.16 - Système dissipatif discret non-linéaire en excitation forcée (mi = m2 = rn3 =1, C1 = C2 = e3 = .05, k1 = k2 = k3 = 1, a = a2 a3 = 1).Les réponses de chaque mode sont calculées en résolvant (2.88), puis additionnées dans labande de fréquence (Figure 2.17).Nous avons comparé les résultats obtenus pour cet exemple avec la méthode d'intégrationtemporelle de Runge-Kutta d'ordre 4 [76]. Cette méthode a été utilisée pour simuler un testd'excitation en sinus balayé avec deux niveaux de force F = 0.1 et F = 0.15, dans les deux sensde balayage ascendant et descendant. Le signal est ensuite projeté sur l'harmonique ftLes figures 2.18 2.19 et 2.20, illustrent la comparaison des réponses obtenues par la méthode desuperposition modale et celles obtenues à partir de l'intégration temporelle.La superposition des modes isolés, calculés de façon indépendante, montre sa limite d'utilisationdans cet exemple. La sommation des contributions semble en effet engendrer des anomaliessur certains pics (Figures 2.19 et 2.20, deuxième pic).