Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...
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2.5. RÉPONSES FORCÉES 55normales définies en (2.81) (single <strong>non</strong>-linear mode). On suppose connues les pulsations propres<strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s (j = 1, ,m), et on injecte l'expression (2.98) dans le système (2.97) prémultipliépar pour (j = 1 ..., m). Compte tenu de la définition de jjj et enutilisant les équations (2.32) traduisant l'oscillation libre des modes <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s on a= =Il est alors possible de présenter le système d'équation (2.97) en utilisant les paramètresmodaux <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>sj (j + (Qj)qj) + jj jP - [jijj(j + (Q)) ++tmm[> f(qjj) - f( q)].i+i j=1 i=1(2.99)ij correspond au couplage des modes normaux <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s par l'amortissement et est définipar:tCompte tenu de q(t) = Re(Qjet), nous avons un système de m équations algébriques <strong>non</strong><strong>linéaire</strong>scouplées (si on a m modes) sur les QtiP[ 1Lk( (Qk)-122)+ikí]Qk+G(Q1, ..., Qm) (2.100)kjpour (j = 1, ..., m), et où 2 = 1, avec en résumé, les fonctions des amplitudes suivantes(i,j =,m).(2.101)GJ1 est une fonction <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong> des amplitudes <strong>modale</strong>s, construite à partir de f et desfonctions (Q) par application de la méthode de Ritz, contenant des termes de couplage entreles Q.Les équations (2.100) prennent en compte les couplages dus à la <strong>non</strong>-orthogonalité des modes<strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s et les termes de couplage <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s G1 négligés par la méthode du mode <strong>non</strong><strong>linéaire</strong>isolé.Le système (2.100) doit être résolu par une méthode itérative. De même, nous avons utilisé lesméthodes itératives par continuation sur un paramètre pour obtenir les m amplitudes <strong>modale</strong>s.Les figures suivantes illustrent l'évolution des coordonnées <strong>modale</strong>s <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s sur un exemplede réponse forcée (voir exemple de la partie 2.4.2).Les coordonnées <strong>modale</strong>s <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s (Figures 2.14 et 2.15) sont quasiment découplées auxrésonances contrairement aux coordonnées dans la base <strong>linéaire</strong> (Figures 2.12 et 2.13).2.5.6 Calcul des réponsesSuperpositionLe calcul des réponses s'effectue dans tous les cas par sommation des modes pondérés parleurs amplitudes respectives selon l'équation (2.98). Les méthodes diffèrent donc sur le calcul