Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

54 CHAPITRE 2. APPROXIMATION DES MODES NON-LINÉAIRESOn constate alors que cet amortissement peut apparaître dépendant de l'amplitude par le biaisde la variation de la forme du mode. De même, en considérant un amortissement hystérétiquelinéaire on aura :fi(2.91)avecQ3Modes complexes non-linéairesíi(Q)((Q)2)+ ihj(Q)'h(Q)t(Q)H(Q) (2.92)Lorsque les forces d'amortissement induisent des couplages importants, on introduira [67] lanotion de mode non-linéaires complexes qui donneront lieu à un problème modal non-linéaireanalogue à celui exposé précédemment mais écrit dans l'espace d'état. L'équation du systèmedans l'espace d'étatavecA=A + By + J(y, I) =CMM 0B=[ -] ,y=1!(y,ù) = {f(ù)} ,(t)=permettra de poser le problème modal non-linéaire associéI p(t)}'u}'(2.93)(2.94)(2.95)[B(QW) + s(Q)A]W = 0, (2.96)où iÏJ est le mode complexe non-linéaire, s la valeur propre complexe, solutions du problèmealgébrique non-linéaire (2.96). L'obtention de ces modes s'effectue également par une méthodeitérative dans le cas général.2.5.5 Expression à l'aide des modes non-linéairesAfin de mettre en évidence l'avantage apporté par l'utilisation des modes non-linéaires dans lasynthèse de réponses forcées, nous traitons à présent le problème sans hypothèse de découplage.Nous utiliserons comme exemple, le système dissipatif associé à (2.73)Mü + Cit + Ku + f(u) = p(t) = Peos(ílt), (2.97)où C est la matrice d'amortissement. Afin d'exprimer le système d'équations (2.97) à l'aide descoordonnées modales non-linéaires, les solutions du système (2.97) sont recherchées sous formed'une combinaison linéaire de m modes normaux non-linéaires du système conservatif (2.73)mu(t) >i=1q(t) (2.98)avec q(t) = Re(Qjet).Les (Q) pour (j = .,m) sont les modes définis par (2.32) et les q(t) sont ici desamplitudes modales déterminées simultanément et sont différentes a priori des coordonnées