Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

2.5. RÉPONSES FORCÉES 532.5.4 Prise en compte de la dissipationNous considérons à présent un système dissipatif discret à n degrés de liberté, soumis à uneexcitation harmoniqueM + Kx + f(x, ) = p(t) = Pcos(ílt). (2.83)La présence d'amortissement introduit a priori des différences de phase entre l'excitationet les réponses des coordonnées x. Dans l'hypothèse de faibles forces de dissipation, les coordonnéespeuvent être considérées en phase ou en opposition de phase entre elles, la réponse seragénéralement d'amplitude importante et pourra ainsi être considérée proche du mode normalnon-linéaire [82] lorsque le système oscillera au voisinage de l'une de ses résonances. La réponsesera donc cherchée sous la formex(t) u(t) = Qì cos(t + 9). (2.84)En substituant l'expression (2.84) dans (2.83) et en appliquant la méthode de Ritz, on obtientles 2 x n conditions d'orthogonalités(K - ci2M)Q +-f f(Qj cos O, Qjj sin O) cosO dO - P cos = O,1 r2irf(Qj cosO, Q)1lj sinO) sinOdO - Psin'O = O.-noj En pré-multipliant ces équations par et en utilisant la masse modale de l'équation (2.35),nous obtenonsoù fj est la force modale non-linéaire, et on posera:1=désigné comme l'amortissement modal non-linéaire. On a alors- l2)Q = Jj così9 PcosOj, (2.85)2irjf f(QjcosO,QjjsinO)sinOdO, (2.86)- cìQc1 = Jsin'i9 (2.87)En adoptant à présent une notation complexe pour la coordonnée modale non-linéaire dans lecas d'un système faiblement dissipatif, celle-ci sera définie par- (Q)((Q)Dans le cas où l'amortissement est de nature linéaire et visqueux, la fonction f(x, i) s'exprimeparf(x, ±) = f(x) + C±, (2.89)et le terme d'amortissement dans l'expression (2.88) sera alors288e(Q)t (2.90)