Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

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48 CHAPITRE 2. APPROXIMATION DES MODES NON-LINÉAIRESX 10150 200 250 300 350 400 450Freguence en HerIzFIG. 2.10 - Pulsations de la poutre en fonction de l'amplitude à l'extrémité, (paramètres:= 625 mm, E = 2,11 1011N/m2, p = 7800kg/rn3, a = 21012 = N/rn3).7FIG. 2.11 - Evolution de la forme du premier mode d'une poutre appuyée avec une nonlinéarité,pour plusieurs amplitudes.
2.5. RÉPONSES FORCÉES 492.5 Réponses forcées2.5.1 IntroductionDans le cadre des systèmes linéaires, la notion de mode offre un intérêt particulier notammentlors de la synthèse des réponses du système en régime forcé. Celle-ci s'appuie sur la connaissancedes modes normaux qui constituent une base de l'espace des solutions ainsi que sur le principede superposition et d'orthogonalité des modes. Le calcul de la réponse d'un système à n d.d.l. estramené à la résolution de n équations découplées à une variable, qui fournissent les amplitudesmodales, et à une simple sommation lors de la synthèse à partir des réponses modalesu(t) =Lors de couplage des modes normaux importants par les forces dissipatives, les modes complexessont utilisés afin de découpler les équations dans l'espace d'état. En ce qui concerne lessystèmes non-linéaires, les modes non-linéaires d'un système dynamique constituent une famillede solutions périodiques particulières possédant certaines analogies avec les modes des systèmeslinéaires, mais le principe de superposition n'est en général plus valable.Cependant, certains auteurs ont étudié la possibilité d'utiliser les modes non-linéaires dansl'étude des solutions des problèmes de calcul des réponses forcéesetMü + Ku + f(u) = p(t) Fcos (lìt), (2.73)Mü + CIL + Ku + f(u) = p(t) = Pcos(lit). (2.74)Dans cette section, on s'intéressera au calcul des réponses forcées à l'aide des modes nonlinéairesen faisant ressortir l'intérêt de leur utilisation dans ce contexte.2.5.2 Couplage des coordonnées normales linéairesAfin de montrer l'intérêt de l'utilisation des modes non-linéaires dans le calcul des réponsesforcées des systèmes dynamiques, nous revenons à l'approche basée sur les modes linéaires. Onconsidère le système dynamique non-linéaire et non-autonome (2.73) soumis à une excitationharmonique. Les solutions correspondant au régime stationnaire de (2.73) sont écrites en fonctiondes coordonnées modales linéairesu = (2.75)L'équation du mouvement (2.73) se traduit alors paravecj(t) + c(t) + A(t) + p(t), (i = 1 ...,/)\n), (2.76)tf() A= (2.77),n) jJ
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