Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

2.4. EXEMPLES, CALCUL DES MODES 47et,021Ï1i3x2 u3EI 2(l) - kJ(l) - aQ['Ï'(l)]3 = 0,(2.68)avec(2.69)Les fonctionsr(x) sont cherchées sous la forme= Asinx + Bcos,x + Csinhx + Dcoshx. (2.70)La condition d'obtention d'une solution non-triviale, vérifiant les conditions aux limites ainsi quel'équation (2.64) permet d'obtenir les pulsations des oscillations normales approchées à partirdes solutions de l'équation caractéristique2 [k + 12Q [ co)co sinsinh - EI3(sinAcoshÀ - cossinh) = 0,(2.71)avec À = . Les solutions À sont alors obtenues pour des amplitudes Q fixées en résolvantnumériquement l'équation (2.71). Les fréquences apparaissent alors comme fonctions de l'amplitudemodale Q et on les noteraEIÀ2(Q1) (2.72)pSLes solutions linéaires correspondant à Qj = O initialisent la recherche des modes. De même,les formes modales 'Ï'(x, Qj), associées à ces fréquences seront exprimées en fonction de l'amplitudeQ.Les formes des modes évoluent progressivement vers les déformées d'une poutre sur deuxappuis (Figure 2.11).Non-linéarités répartiesLes modes normaux peuvent être obtenus analytiquement par la méthode de Ritz pour desnon-linéarités réparties [42]. Différentes techniques analytiques ont également été exploitées pourle calcul des modes de systèmes continus : méthode de perturbation et méthode des échelles multiples[56], méthode des variétés [73], pour des systèmes monodimentionnels ou bidimentionnels(plaques) [39].