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46 CHAPITRE 2. APPROXIMATION DES MODES NON-LINÉAIRESS>\/71/FIG. 2.9 - Poutre appuyée avec une liaison non-linéaire.L'équation du mouvement en considérant de petits mouvements de flexion de la poutre dontla section S sera constante02w04w+ EI---- =0, (2.60)où w(x, t) représente la déflation transverse de la fibre moyenne, est associée aux conditions auxlimites suivantesw(O,t) = 0, Vt02w(2.61)Ox2 (0,t) = 0, Vt = 0,et,EIOW (i, t) - kw(1, t) - w3(l, t) 0.Ox3(2.62)On recherche la solution du problème constitué par les équations (2.60), (2.61) et (2.62)correspondant aux oscillations selon un mode normal sous la formeavec Q réel et la condition de normalisationw(x,t) = Q'Ï'(x)cos't, (2.63)(2.64)En injectant l'équation (2.63) dans l'équation du mouvement (2.60) ainsi que dans leséquations de conditions aux limites associées (2.61) et (2.62) on a, en ne conservant que lepremier harmoniqueOx4O2J(o)0x2= 0,= 0,= 0,(2.65)(2.66)(2.67)
2.4. EXEMPLES, CALCUL DES MODES 47et,021Ï1i3x2 u3EI 2(l) - kJ(l) - aQ['Ï'(l)]3 = 0,(2.68)avec(2.69)Les fonctionsr(x) sont cherchées sous la forme= Asinx + Bcos,x + Csinhx + Dcoshx. (2.70)La condition d'obtention d'une solution non-triviale, vérifiant les conditions aux limites ainsi quel'équation (2.64) permet d'obtenir les pulsations des oscillations normales approchées à partirdes solutions de l'équation caractéristique2 [k + 12Q [ co)co sinsinh - EI3(sinAcoshÀ - cossinh) = 0,(2.71)avec À = . Les solutions À sont alors obtenues pour des amplitudes Q fixées en résolvantnumériquement l'équation (2.71). Les fréquences apparaissent alors comme fonctions de l'amplitudemodale Q et on les noteraEIÀ2(Q1) (2.72)pSLes solutions linéaires correspondant à Qj = O initialisent la recherche des modes. De même,les formes modales 'Ï'(x, Qj), associées à ces fréquences seront exprimées en fonction de l'amplitudeQ.Les formes des modes évoluent progressivement vers les déformées d'une poutre sur deuxappuis (Figure 2.11).Non-linéarités répartiesLes modes normaux peuvent être obtenus analytiquement par la méthode de Ritz pour desnon-linéarités réparties [42]. Différentes techniques analytiques ont également été exploitées pourle calcul des modes de systèmes continus : méthode de perturbation et méthode des échelles multiples[56], méthode des variétés [73], pour des systèmes monodimentionnels ou bidimentionnels(plaques) [39].
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