Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

2.4. EXEMPLES, CALCUL DES MODES 43Fsi,(k)k1 k2 k3 a3m2FIG. 2.5 - Système discret à plusieurs non-linéarités.[Kr(Ri.S) - i'2Mr]S 0, (2.58)avec,/ i '\ /ml+m2+m3 m2 + m3 m3S( S2s3I ,Mr=tPMP=i m2+m3 m2 + m3 m3m3m3 )'Kr(Ri.S) = ((ki+aiR O OO k2 + o2(Ri.S2)2 OO O k3+a3(Ri.S3)2 /Le vecteur S est normalisé par rapport à la première coordonnée. Le problème aux valeurspropres n'est cette fois ci plus standard lorsque l'on fixe R1, en effet le terme Kr dépend deS. Nous avons utilisé une méthode de Newton-Raphson afin de trouver le vecteur d'inconnuest[, 82, S3] solution du système algébriqueg(.D, 52, S3) = [Kr(Ri.S) - 2Mr1S = O (2.59)La procédure est initialisée à l'aide des modes du système linéaire, correspondant à unevaleur de R1 très petite. Puis, en augmentant progressivement R1, la solution au pas précédantest utilisée pour initialiser la recherche de la solution correspondant à une amplitude R1 plusgrande.Les résultats sont exprimés dans la base des déplacements absolus par la transformationinverse de (2.56) puis dans la base des modes linéaires comme dans l'exemple précédant (partie2.4.1) et correspondent aux valeurs numériques m1 = m2 = m3 = 1, k1 = k2 = k3 = 1, == = 1.Les courbes 2.6, 2.7 et 2.8, montrent l'évolution des paramètres modaux en fonctions deleurs amplitudes modales respectives correspondant toutes à des déplacements de la masse m1compris dans l'intervalle [0,4].2.4.3 Systèmes continusPoutre avec une non-linéarité localiséeOn considère à présent un cas particulier de système constitué d'une poutre rectiligne delongueur i, appuyée à une extrémité (en x = 0) et possédant une non-linéarité localisée cubiqueà l'autre extrémité en x = I (Figure 2.9).