Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

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38 CHAPITRE 2. APPROXIMATION DES MODES NON-LINÉAIRESLes modes sont dans ce cas calculés progressivement en fonction de l'amplitude Q à partirdes différentes initialisations en "suivant" un mode donné. L'amplitude est incrémentéeitérativement : Qk+1 = Q +La recherche du mode non-linéaire pour l'amplitude Q+l est initialisée à chaque itération avecle résultat correspondant à l'amplitude Q. L'opération est à effectuer successivement pourchaque mode dans la plage d'amplitude voulue. Dans ce cas, il n'est pas évident que le systèmealgébrique à résoudre possède n solutions comme dans le cas précédant.2.3.4 Calcul des modes à l'aide de réponses forcéesIl est possible de calculer une approximation des modes non-linéaires à l'aide d'une réponseforcée en se basant sur la méthode de la linéarisation équivalente (voir la partie 4.3). En supposantque l'on dispose de la réponse forcée x(t) du systèmeM'ñ + Kx + f(x) = Fcos(lt), (2.49)pour chaque valeur du champs de déplacement connu x, on peut déterminer la matrice deraideur équivalente qui dépendra du champs de ces déplacements. Ainsi les équations du systèmeéquivalent s 'écrirontMth + Keq(x)x = Fcos(Zt). (2.50)Il est ensuite possible de calculer de façon standard, les valeurs propres et modes propresassociés au système équivalent[Keq(x) - M]' = 0, (2.51)OÙ Keq est la matrice obtenue par la méthode de la linéarisation équivalente. Afin de relierensuite ces modes à leurs amplitudes modales, on détermine celles-ci de la façon suivanteqj=tjMx (j=l,...,n) (2.52)(en ne gardant que le premier harmonique). Cette méthode nécessite la simulation de la réponseforcée par une intégration temporelle du système d'équations qui peut être assez lourde mais lesmodes sont ensuite obtenus de façon standard.On pourra trouver d'autres algorithmes de calcul des solutions de problèmes aux valeurspropres non-linéaires dans [45].2.4 Exemples, calcul des modes2.4.1 Système discret comportant une seule non-linéaritéOn considère un système dynamique discret à 3 degrés de liberté possédant une non-linéaritécubique et dont les équations du mouvement sont données parm1ñ1 + (k1 + k2)xi - k2x2 +m2x2 + (k2 + k3)x2 - k2x1 - k3x3==0,0,(2.53)m313 + k3x3 - k3x2=0.
2.4. EXEMPLES, CALCUL DES MODES 39Ce système peut être représenté par un ensemble de masses chaînées par des raideurs linéairesavec une raideur à "l'encastrement" non-linéaire (Figure 2.1).k1 k2 k3m2m3FIG. 2.1 - Système discret comportant une non-linéarité isolée.Le système d'équations algébriques qui résulte de l'application de la méthode de Ritz sur lesystème d'équations différentielles (2.53), lorsqu'on cherche une solution de la formeestx(t)=XcosDt (i=1,...,3),- 2m1X1 + (k1 + k2)X1 - k2X2 + = O,2m2X2 + (k2 + k3)X2 - k2X1 - k3X3 = O, (2.54)w2m3X3 + k3X3 - k3X2 = O.Le calcul des modes est effectué en normalisant par rapport à la première coordonnée. L'oscillationen mode normal non-linéaire sera alors exprimée parx(t) = X1UcoscDt,où la première composante du vecteur U est unitaire (U1 = 1).La recherche du mode normal revient à la résolution du problème[K(Xi)- D2MJU = 0,(2.55)avecU=/ 1 \U2\U3J ,M=/m1 OOm2\O OOOm3)( k2 + k1 + aiX? k2 OK(X1) = k2 k2 + k3 k3O k3 k3Pour plusieurs valeurs successives de X1, on calculera directement, par résolution du problèmeaux valeurs et vecteurs propres (2.55), L' et U en fonction de X1.
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