Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

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36 CHAPITRE 2. APPROXIMATION DES MODES NON-LINÉAIRESd'où,'g'(s)ds = g(1) - g(0) = F1(Q) =[1Lt. JoVFl(sQ)ds} Qj,(2.38)k(Q) = K+f01VFj(sQ)ds,K + f f0' Vf(sQ' cos 8) cos2 Odsdû.(2.39)2.3.2 Non-linéarité uniqueDans ce cas, les efforts non-linéaires ne dépendent que d'une seule des variables cinématiques.On peut éventuellement se ramener à cette situation par passage en coordonnées relatives lorsquela non-linéarité intervient dans une liaison entre deux degrés de liberté. (voir l'exemple dans lapartie 2.4.2).En choisissant comme amplitude modale la coordonnée intervenant dans les forces nonlinéaires,le problème (2.32) prend la forme plus simple suivante,[k(Q) - 0, (2.40)où la matrice k dépend de Q mais pas de la forme du mode. Ainsi, on cherchera les solutionspour une amplitude fixée Q par une procédure de calcul des modes linéaires standard. Remarquonsque l'on obtient dans ce cas toujours n solutions au problème (2.32) pour une amplitudedonnée.2.3.3 Non-linéarités multiplesDans les cas où le système possède plusieurs non-linéarités, la matrice de rigidité non-linéairek dépend également de la forme du mode qui est a priori inconnue et le problème (2.32) doitêtre traité par une procédure numérique itérative. La procédure de Newton-Raphson peut êtreutilisée en définissant la fonctionavec,g(j, ) = [K + K(Qj) - (2.41)1C(Qj) k(Q) - K,= ¿Z);2.Les solutions de l'équation g(\j,l'entier k) = 0, sont obtenues par le processus d'itérations surIJJ+1 = lJC - [Vg(4, 'I)}-'g(4, :kfl, (2.42)
2.3. CALCUL DES MODES NORMAUX NON-LINÉAIRES 37avec le vecteur d'inconnues(2.43)\ JNous nous ramenons à un problème à n inconnues en fixant à l'unité l'une des coordonnées.Les colonnes de la matrice Jacobienne Vg (en (j, )) s'explicitent comme suit(Vg).,i = =(Vg).,1 == + k., -(1'"-'j)pq -UÌ'±Jj(i1, is)Vg.,1 --si i s > 1.où K., est, par exemple, la i-ème colonne de la matrice K, et avec= K., - + [AC(Q)].(2.44)(2.45)En faisant apparaître la fonction F1 définie plus haut, nous avons(2.46)avec,VF1(Q)1 f27r Vf1(Q cosO) cos2 OdO. (2.47)Les itérations (2.42) sont initialisées avec les modes linéaires correspondant aux amplitudesnullesQ=O (j=i,.»,n):(2.48)' inJ
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