Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

2.3. CALCUL DES MODES NORMAUX NON-LINÉAIRES 35En faisant apparaître les déplacements dans les forces non-linéaires (2.30), de la façon suivantea(x) = {r=3,5,... irX1]Xi,(2.31)bjk(xj - Xk) = [r=3,5,... bikr(Xi - Xk)r_h](X - Xk),et par application de la méthode de Ritz en supposant la solution de la formex(t) = q(t)4= Q cos(Dt)j,l'équation modale correspondant à tÏ pourra s'écrire en faisant apparaître une matrice de rigiditénon-linéaire, dépendante de l'amplitude. Le problème modal non-linéaire sera alors de la forme:[k(Q) - = 0, (j = 1, 2, ...) (2.32)où les termes de la matrice k peuvent être explicités en fonction des coefficients air et bjkr desexpressions (2.31), de Q, de cÏ et des intégralesLes termes de la matrice k sont'r1 [2 cosr+l OdO.7r J0+r3,5,... 1r&ir'Q'+ r3,5,.. 'r bikr - 4ik) Q]rl (2.33)kk(Q) Kk - r=3,5,... IrbikrQ]rl (ki).Les vecteursnotéesolutions de (2.32) sont trouvés en fonction de Q. La masse modale seraavec,= (2.34)2irtJJ1+ I f(Qj cosO) cos O dO,7rQ Jo= (2.35)Le produitcorrespond à une raideur modale non-linéaire. L'obtention des modesse fait par résolution du problème modal (2.32).D'une manière plus générale, si l'on note,F1(Q) =1 r2 -f(Qj cos O) cos OdO,on pourra mettre la fonction algébrique F1 sous forme matricielle de la façon suivante:Posons g(s) = Fi(sQ), nous avons(2.36)g'(s) = (2.37)or,