Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

34 CHAPITRE 2. APPROXIMATION DES MODES NON-LINÉAIRESDans le cas de la décomposition sur la base des vecteurs propres linéaires, la normalisation setraduira par= iA chaque normalisation est associé une amplitude modale différente. En effet, par définition duproblème modal non-linéaire selon l'équation (2.32) nous avons[k(Q Ïj(Q)) - = O, (2.24)qui défini le mode non-linéaire pour l'amplitude Q telle que les déplacements lors des oscillationslibres suivant ce mode soientEn introduisant un facteur ), l'équation (2.24) donne[k(À0.)) -on a alorsavec'u(t) = q(t)4(Q), q(t) Qcos(Dt). (2.25){k(Q.iÏi(Q)) - 2(Q)M]'Ï'(Q) = O,w(Q)=- w( Q).L'oscillation normale (2.25) s'écrit à l'aide de la nouvelle normalisationu(t) = q(t)'(Q),q(t) = Qcos(Q)t.Le changement de normalisation par le facteur de normalisation À,e' À= iÏij,est obtenu en effectuant le changement de variable (2.28) sur les "fonctions modales".2.3 Calcul des modes normaux non-linéaires2.3.1 Problème aux valeurs propres non-linéaire(2.26)(2.27)(2.28)Considérons les forces non-linéaires f(x) agissant dans le système discret (2.5) de la formesuivantef(x) = aj(xj) + bjk(xj - Xk), (2.29)kioù a et bk sont des fonctions polynomiales correspondant à des liaisons élastiques non -linéaires.Ces fonctions pourront avoir les expressions suivantesoù air et bikr sont des constantes.a(x) =bjk(xj - Xk) =ir4,r=3,5,... bikr(Xi(2.30)