Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

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30 CHAPITRE 2. APPROXIMATION DES MODES NON-LINÉAIRESainsi que certaines conditions aux limites associées au problème. T est l'énergie cinétique et Vl'énergie de déformation. La solution est recherchée dans un espace de dimension finie dont lesfonctions (t) constituent une base et vérifient les conditions (2.2)x(t) u(t) = ajj(t), (2.3)i= iIl s'agit de déterminer les coefficients a de telle sorte que le principe de Hamilton soit réalisédans ce sous espace. Compte tenu de (2.3), ces conditions se traduisent parti'2= 0, (i = 1,... ,n); (k = 1,... ,m). (2.4)où les e(t) sont les résidus des équations de Lagrange associées au principe de Hamilton et à lasolution approchée (2.3). Ils peuvent être interprétés physiquement comme des forces appliquéesau système afin que celui-ci suive la trajectoire approchée par (2.3). Les coefficients cherchéssont ainsi solutions d'un système algébrique à rn inconnues.Pour la recherche de solutions T-périodiques on prendra t1 = 0, t2 T et pour les fonctionsde base e(t), les m premières fonctions harmoniques sin kwt, cos kwt, (k = 1, 2,... ,) avec =2ir/T.2.2 Oscillations en mode normal2.2.1 Forme de l'approximationNous considérons un système dynamique discret à n d.d.l., non-linéaire, conservatif dont leséquations du mouvement sontM + Kx + f(x) = 0, (2.5)où M et K sont les matrices de masse et de rigidité constituant la partie linéaire, x le vecteurdes déplacements et f(x) représente les forces élastiques non-linéaires conservatives.Nous approcherons les oscillations en modes non-linéaires associées au système (2.5) parx(t) u(t) = ur(t)b, (2.6)OÙ uj,. est une coordonnée de référence arbitraire, à partir de laquelle sont exprimées les autrescoordonnées, et b un vecteur de R. La loi horaire du mode non-linéaire est approchée parune fonction harmonique de pulsation , et d'amplitude U,. donne l'amplitude maximum desoscillationsU,.(t) = UrCOS(iDt). (2.7)Pour une amplitude donnée U,. non nulle, le problème consiste à déterminer ainsi que pouri {1,... , r - 1, r + 1,... , n}, soit n inconnues de telle sorte que u(t) soit solution approchée del'équation (2.5). En pratique, on choisira la coordonnée r pour qu'elle ne corresponde pas avecun noeud de vibration afin que la détermination du mode soit possible.L'expression (2.6) est substituée dans l'équation du mouvement (2.5) pour obtenir le résidude force ff(t) = Mü(t) + Ku(t) + f(u(t)). (2.8)
2.2. OSCILLATIONS EN MODE NORMAL 31Les conditions générales d'orthogonalité (2.3)s'explicitent suivantr'DI (t)eos(Dt)dt = 0,Jo1p2r. Jf(Ubcos9)cosOd0 = 0,(2.9)(2.10)ce qui constitue un système algébrique de n équations non-linéaires couplées à n inconnues. Sil'on admet que ce système d'équations possède m solutions s,j/ Wjb1\si = bj,r_i (j=1,...,m), (2.11)bj,r+i\ b jcelles-ci dépendront de l'amplitude U,. fixée et les oscillations sur les modes non-linéaires serontnotéesu(t) = Urbj(Ur)eos(&j(Ur)t), (j 1,.. ,m). (2.12)La forme du mode approché ne varie pas au cours de l'oscillation en mode normal mais est fonctionde U,.. Les trajectoires du mode approché dans l'espace des configurations sont des segmentsde droites dont les orientations sont fonctions de l'amplitude U,.. La propriété d'orthogonalitéde ces modes non-linéaires n'a généralement plus de sens.2.2.2 Expression des modes non-linéaires dans la base modalelinéaireSi le système est linéarisable, les modes normaux du système linéaire associéM+Kx=0, (2.13)peuvent être utilisés pour exprimer les modes non-linéaires. Ils sont définis par n pulsationspropres w1, ,w, et par une matrice modale dont les colonnes sont les n vecteurs propres(1 = [,... , tels queavec les propriétés classiques d'orthogonalité(K - w2M)I = 0, (j = , n), (2.14)(Vi,j=1,...,n).Ces modes sont utilisés afin d'exprimer un vecteur x au moyen des coordonnées modalesx = (2.15)
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