Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

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26 CHAPITRE 1. LES MODES NORMAUX DE ROSENBERG10beta=0.02, alpha=le-05, delta=0.0001, FX=O.1, FY=O, c=0.005DwD8r2o0.96 0.981.02 1.04 1.06 1.08lo8c,JDwD2o0.96 0.981.02 1.04puIsaton1.06 1.08 1.1FIG. 1.9 - Réponse forcée d'un système non-linéaire à 2 d.d.l. comportant une bifurcationde l'un ses modes non-linéaires (mode c=-1); û = i0, /3 = 2.10_2, ,y = 5.10s, =F = 0,1, F = 0.Ce type de réponse forcée peut apparaître avec l'augmentation d'amplitude lorsque le systèmeest linéarisable et tend vers un système non-linéaire bifurcant lorsque l'amplitude augmente [46].La figure 1.9 représente la réponse du même système avec une force d'excitation plus faible.Seulement deux pics de résonance apparaissent. Dans les deux cas, les réponses sont calculéespar la méthode de continuation (voir la partie 4.3) appliquée au système algébrique+ x + iX + ß(X - Y) + XI2X + - Y12(X - Y) = F,2y + Y + iY - ß(X - Y) + olyI2Y - - Y12(X - Y) = F,obtenu par la méthode de la balance mono-harmonique {82J. Un terme dissipatif proportionnelà -y = 0.005 est rajouté par rapport au système (1.37), afin que les résonances aient desamplitudes bornées et que la méthode de continuation puisse parcourir l'ensemble de la courbede réponse. Selon la forme des forces non-linéaires, le nombre de modes peut dans certains casêtre plus important dans une plage de "régime intermédiaire" alors qu'il sera égale au nombrede degrés de libertés à faible niveau et à "très fort" niveau [46].
1.5. CONCLUSION 27Réponses temporellesL'illustration des propos précédant peut s'effectuée à l'aide des réponses temporelles intégréespar des schémas numériques. La figure 1.10 montre la réponse temporelle en régime forcé avec1, 4 lorsque le mouvement s'effectue au voisinage du pic associé au mode c = +1. La figure1.11 met en évidence le phénomène de localisation sur le degrés de liberté x. La figure 1.12reflète l'instabilité des oscillations forcées au voisinage du mode bifurquant c = 1. Le systèmese stabilise sur l'un des modes localisés après un certain temps d'intégration.5 lo 15 20 25 30TempsFIG. 1.10 - Réponse du système (1.37) (avec ajout de 'y = 0, 005), au voisinage du modeen phase e = 1, pour = 1,4. x : '', y ' '.1.5 ConclusionDans ce chapitre, nous avons exposé les notions relatives aux modes non-linéaires tellesqu'elles sont apparues historiquement dans les années 1960 avec les travaux de Rosenberg, pourla plupart. Les systèmes dynamiques concernés sont alors discrets et conservatifs et peuventêtre fortement non-linéaires. L'obtention des trajectoires des modes nécessite la résolution d'unproblème différentiel non-linéaire qui n'est pas immédiate. La pulsation est calculée ensuite eninjectant l'équation des lignes modales dans l'équation du mouvement qui est alors réduite àune seule équation. Les modes normaux en tant que réponses libres particulières du système,présentent néanmoins le grand intérêt, d'appréhender la dynamique du système en régime forcé.
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RESUME:L'introduction de l'analyse
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