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24 CHAPITRE 1. LES MODES NORMAUX DE ROSENBERGFIG. 1.6 - Trajectoires des oscillations forcées, cas linéaire avec k = 1.Intégration approchéeDans le cas de systèmes plus généraux, il n'est pas possible de trouver une solution exacte auproblème de la recherche de vibration à l'unisson pour le système forcé. D'une façon analogueà la recherche des modes non-similaires on utilise alors une méthode de perturbation [63] auvoisinage d'une solution connue. Plus récemment, certaines méthodes ont été proposées. Dans[14], une méthode analytique de calcul consiste à exprimer la force en fonction du déplacementen se ramenant ainsi à un système autonome. Dans [87], un théorème donnant une conditionnécessaire et suffisante d'existence d'une force menant à une vibration forcée à l'unisson estdonné. On montre, que pour un système non-linéaire, il existe toute une classe d'excitationsconvenables, à l'opposé des systèmes linéaires pour lesquels seule une forme harmonique convient.1.4.2 Résonances au voisinage des modesLes courbes de réponse sont des courbes dans le plan amplitude-fréquence obtenues pourchaque degré de liberté et pour un niveau de force donné. Elles sont analogues aux courbes derésonance pour les systèmes linéaires et font apparaître des branches de résonance qui peuventêtre stables ou instables. Ces branches sont associées aux différents modes, et dans le cas où lesystème possède plus de modes que de degrés de liberté, la courbe de réponse fait figurer autantde branches de résonances que de modes stables [14]. Nous allons illustrer certaines propriétésen calculant ces courbes de réponse par une approximation mono-harmonique. Les courbes de lafigure 1.8 illustrent ceci sur l'exemple simple (équation 1.37), d'un système symétrique à deuxdegrés de liberté (schéma 1.7), possédant une partie linéaire+x+ß(xy)+5x3 +a(x y)3 = Fcos(1lt)+y-3(xy)+6y3a(xy)3 =Fcos(ìt) (1.37)
1.4. RÉPONSE EN OSCILLATIONS FORCÉES 25k1 8Ic=1 6FIG. 1.7 - Système linéarisable à deux degrés de liberté (paramètre des liaisons élastiqueslinéaires et cubiques).Une étude de stabilité montrerait que la branche associée au mode e = 1 est instable, Onconstate que sur les deux modes résultant de la bifurcation, (modes en anti-phase avec e < O),l'énergie vibratoire à tendance à se localiser sur l'une des deux masses (Figure 1.8).200beta=0.02, alpha=1 e-05, delta=O.0001, FX=2, FY0, c'0.0051500a100aE'n50O081.2 1.4 1.6 1.82.2200('JVQaE15010050o081.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2pulsationFIG. 1.8 - Réponse forcée d'un système non-linéaire à 2 d.d.l. comportant une bifurcationde l'un ses modes non-linéaires (le mode c=-1);=1O4,F=2,F=O.= iO, /3 = 2.1O, 'y = 5.1O,
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J.C. Slater. A numerical method for
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RESUME:L'introduction de l'analyse
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