Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

1.4. RÉPONSE EN OSCILLATIONS FORCÉES 23où D = (c1)'', ) est la pulsation généralisée qui correspond à la pulsation habituelle dans lecas harmonique, et où cam(m'a) est une fonction spéciale. Pour m = i on a cam(u) = cos(u),et pour m = 2, elle correspond à une fonction elliptique [63]. La réponse forcée est alorsu(t) = üjcam(mDÀ2 t),Tn(i= 1,...,n).(1.36)Les constantes e, üj (i = 1,. . . ,n), sont déterminées en injectant (1.35) et (1.36) dans leséquations du mouvement (1.1) et de la trajectoire (1.9).Trajectoires des réponses forcéesLes trajectoires, ainsi que les lieux parcourus par les extrémités de ces trajectoires lorsquela pulsation À varie, sont représentés sur la figure 1.5 pour un système homogène de degrés 3à deux degrés de liberté. Dans ce cas, les trajectoires des réponses forcées sont rectilignes et lafigure 1.5 permet notamment d'illustrer le fait que lorsque la pulsation d'excitation tend vers lapulsation d'un mode, les amplitudes tendent vers +. Le rapport des composantes uj/ui tendalors vers les constantes modales cj, i = 2,... , n. La trajectoire se rapproche de la ligne modale.Le système vibre alors au voisinage d'un mode normal non-linéaire lors d'une résonance.u,u'FIG. 1.5 - Trajectoires des oscillations forcées dans l'espace des configurations, (k=3).Pour un système linéaire (k = i), les courbes dans le plan définies par (ui(A), u2(À)) sontdes hyperboles (Figure 1.6) et les trajectoires des modes sont orthogonales (si les masses sontunitaires).