Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

22 CHAPITRE 1. LES MODES NORMAUX DE ROSENBERG1.3.6 Stabilité des modes de RosenbergQuelques propriétés de stabilité des modes normaux sont résumées dans [63]. En particulier,il est montré que les modes normaux d'un système admissible dont la fonction potentielle n'estpas une forme quadratique ne peut pas être stable au sens de Liapunov. Ceci découle du faitque les oscillations libres d'un système autonome non-linéaire ne sont en général pas isochrones.On examinera plutôt la stabilité orbitale des modes normaux (ou stabilité au sens de Poincaré).Celle-ci pourra dépendre des paramètres du système, mais aussi du niveau de l'amplitude desmouvements.Quelques résultats de stabilité peuvent être mentionnés relativement à certaines classes desystèmesSystèmes homogènes : Le caractère stable ou instable des vibrations en mode normal d'unsystème homogène est conserve' indépendamment de l'amplitude des oscillations. La stabilite' nedépend donc que des paramètres.Modes non-similaires : Dans ce cadre plus général, la stabilité des modes non similairespeut être rattachée à la stabilité des modes similaires d'un système associé (système parent)dont le système initial est considéré comme étant une perturbation de ce dernier.Ainsi, d'après les références [65], [63] : La stabilité des modes normaux de vibration du système(1.10), est de même nature que celle des modes du système parent1.4 Réponse en oscillations forcéesOn considère le problème non-autonome d'équation (1.1), et les solutions auxquelles ons'intéresse à présent sont les vibrations à l'unisson ayant même période que la force d'excitation.Elles sont appelées steady state vibration, [63].1.4.1 Vibrations à l'unisson du système forcéIl s'agit d'examiner à quelle condition ce type de mouvement est possible pour le systèmenon-autonome et notamment quelle forme de la force d'excitation permet d'atteindre ce régime.Dans le cas linéaire, la réponse u(t) à une excitation harmonique f(t), est harmonique, de mêmepériode, et on peut alors définir la courbe de réponse par le quotientu(t)f(t) = csteindépendant du temps. Cette propriété peut être généralisée dans le cas de systèmes homogènes.systèmes homogènes [63]Il existe une classe de systèmes pour lesquels il est possible d'obtenir une solution exacteau problème : il s'agit des systèmes homogènes de degrés k, dont le cas linéaire (k 1) est unexemple particulier, auquel correspond une excitation harmonique.Rosenberg montre que pour ces systèmes, et pour une force de la formef1(t) = Pcamk(m DÀ2 t), (i=2,...,n),m(1.35)