Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

20 CHAPITRE 1. LES MODES NORMAUX DE ROSENBERGui(0) = ü1, i1(0) = 0,està l'équation (1.30) et en intégrant sur un intervalle [0, u1], la période des oscillations obtenue°dxT(u1) = 4 Ju1f \/2G(x,ul)oùxDUG(x,üi) = f u1 DUi(ul,u2(ul),.. ,u(ui))dui.(1.31)En général, pour un système non-linéaire, la période dépend de l'amplitude : La propriété dite"d'isochronisme" n'est donc pas vérifiée (ce n'est pas une condition nécessaire de non-linéarité).1.3.5 Bifurcation et surabondance des modes normauxUne propriété propre aux systèmes non-linéaires est de pouvoir posséder plus de modes quede degrés de libertés. Cette propriété est qualifiée de surabondance des modes normaux [61].Afin d'illustrer ce fait, considérons le système homogène de degrés k et symétrique à 2 d.d.l. [61]suivantüi + au + (u1 - u2)k = 0,ü2+au+(u2_u1)k 0(1.32)D'après les propriétés du sous-paragraphe 1.3.3, ce système possède des modes similaires quel'on peut obtenir en résolvant les conditions (1.20). On peut également chercher les solutionscorrespondant à des trajectoires rectilignes de la formeu2(t) = cui(t), (1.33)en substituant (1.33) dans les équations (1.32) dont la première est multipliée par e et ensoustrayant celles-ci entre elles, on obtient une condition sur c (k impair)(1_c)(1+c)[(1_c)k_l+ac(1+c2+c4+...+ck_3)] =0, (1.34)qui laisse apparaître que le système (1.32) possède toujours 1 mode en opposition de phase(c = 1) et un en phase (c = 1). Mais, par exemple, pour k = 3 le système (1.32) peutavoir deux modes supplémentaires en fonction de la valeur du paramètre a. Les trajectoiresde l'ensemble de ces modes sont représentées sur la figure 1.3, ainsi que les équipotentiellescorrespondant à h = 0.2 et h = 1. Dans ce cas, le "surnombre" des modes est associé à unphénomène de bifurcation du mode en opposition de phase par rapport au paramètre a (Figure1.4). La bifurcation s'effectue pour la valeur de paramètre a = 4 (et e1 = arctg(c) donne l'angledirecteur des lignes modales).