Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

1.3. MODES NORMAUX DES SYSTÈMES ADMISSIBLES 19où la fonction de perturbation 1j est solution d'une équation différentielle du second ordre,non-homogène obtenue par substitution de l'expression (1.25) dans (1.12) et regroupement destermes de même puissance par rapport au paramètre de perturbation E2d1 / 52U a2u " ndu1 au1 k=1CkJ + 55 aaU.7) k=1cjij =(5WSW"\ 'Ç 2c15)(i=2,...,n),(1.26)avec,et,U'(ui) = Uo(u*(ui)),W*(ui) = W(u*(ui)).Les termes ek (k = 2, 3,.. .), sont ensuite obtenus successivement à partir de ekl et le problèmeest donc la détermination de la perturbation de premier ordreLes équations de perturbations sont parfois intégrables comme dans le cas particulier decouplages faibles par les forces non-linéaires, ce qui se traduit par2 U05u5u(ui, ... ,u(u1)) = o(e),Dans ce type de conditions, on obtient alors une simplification du problème en dans lesdérivées partielles mixtes de l'équation (1.26) et après intégration et détermination des deuxconstantes, on obtient la solution pour un niveau d'énergie h sous forme d'une quadrature:avec,et,=2c fk=11.3.4 Equations modales=iU'G(ui)fC(x)G(ui) = Uo(u*(ui)) + h,dx,rs DW* 5W[c (u1) (u1)] du1, (i = 2,... ,n).Sui 5uLes équations du mouvement du système (1.10) sont réduites lorsque le système vibre selonl'un de ces modes normaux. L'intégration du système est ramenée à celle d'une équationdifférentielle non-linéaire du second ordre à une seule variable après substitution de la solutionde l'équation de la trajectoire ui(ui) dans la première équation de (1.10)auu1 + (ui,u2(ui),... ,u(ui)) = 0. (1.30)La période des oscillations peut alors être calculée à partir de l'équation (1.30) qui est appelée"équation modale". A l'inverse de la procédure de calcul des valeurs et vecteurs propres dessystèmes linéaires, les modes sont déterminés en premier. On obtient alors la relation fréquenceamplitudew(üi) = T(uI) : En associant les conditions initiales