Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

18 CHAPITRE 1. LES MODES NORMAUX DE ROSENBERG3. Systèmes chaînés [30]Contrairement au cas précédant, dans un système chaîné, ne sont reliées par des ressorts,que les masses "voisines". Les masses aux extrémités sont liées "au massif" et les liaisonssont polynomiales et linéarisables.Le potentiel sera donc de la formeU(u)=fi (airu'+anru'+ajr(ujr=1,3,... i=1- uí+i)On montre, que si le système (1.22) possède des modes similaires, alors, leurs directionssont aussi celles des modes du système linéarisé. De plus, Haughton [30] a établit que siles masses et les coefficients de (1.22) sont toutes égales, alors, il existe effectivement desmodes similaires pour ce système.4. Systèmes symétriques [43], [64]Un système discret à n degrés de libertés est dit symétrique si sa fonction potentielle estde la forme)(1.22)n / mo n mU(u) = - > (ao,.u' + ai,(uj - ujji=1 \r=1,3,... j=i+1 r=1,3,...\r+1(1.23)Physiquement, toutes les masses sont liées au "massif" par le biais de raideurs identiqueslinéarisables, les liaisons de couplages sont aussi polynomiales et toutes de même degréset linéarisables. Pour n = 2, le système présente physiquement une symétrie par rapportà son "centre"'. Dans ce cas également, il a été montré qu'il existe des modes similairestangents aux modes linéaires.Cas des modes non similaires [65]Dans un cas général, les lignes modales des modes normaux sont courbes et le problèmedéfini par l'équation des trajectoires (1.12), à laquelle sont adjointes les conditions (1.14) et(1.15) ne peut pas être traité de façon exacte. Dans [65], Rosenberg étudie les modes nonsimilairesà l'aide d'une méthode de perturbation à partir des modes similaires connus d'unautre système appelé système parent associé au problème. La solution est cherchée sur unintervalle ouvert strictement contenu dans l'intervalle [0, u1], car l'équation (1.12) est singulièresur l'équipotentielle maximale La. Cependant, en utilisant la règle de l'Hospital [65], et le fait queles forces dérivant du potentiel U ne s'annulent pas sur La, on montre que les u, (j = 1,... , n),sont bornés sur La et que la solution peut alors être prolongée sur l'intervalle [0 , u] tout entier.Le potentiel "perturbé" U du système dont on recherche les modes non similaires devra pouvoirs'exprimer selonU=U0+eW eP«U0I, (1.24)où LT0 et W sont respectivement le potentiel du système parent et le potentiel de perturbation.Si le système parent possède un mode (similaire) 4(ui) = cu1, (i = 1. . . ,n), avec c1 =1, on montre [65], que le système perturbé possède un mode (non-similaire) dans un f-voisinagedu mode similaire u(ui), et sa trajectoire est obtenue par les perturbations successives en cselon l'équationuj(ui) = cu1 + ei(ui) + 22j(ul) +... (1.25)