Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

1.3. MODES NORMAUX DES SYSTÈMES ADMISSIBLES 15Les trajectoires rectilignes qui vérifientuj(t)u(t)cj = const.,pour lesquelles on parlera alors de modes similaires, et celles qui seront courbes, auxquellescorrespondront les modes dits non-similaires (Figure 1.2). (les modes d'un système linéairesont des cas particuliers de modes similaires).1.3.2 Caractérisation géométrique des modes normauxLes trajectoires uj(ui) du système dynamique d'équation (1.10) sont solutions d'un systèmed'équations différentielles2[U(u)+h]u'+(1+u') u35nk=29U--}=O, (j=2,...,n),1 5UjJ(1.12)où h est l'énergie totale du système autonome et les Uj fonctions de la variable u1. La surfaceéquipotentielle maximale du système autonome est la surface La définie parLa: U(u1,...,u)+h=0. (1.13)A partir des propriétés de la fonction U(zt), on montre que cette surface est régulière et délimiteun volume dans l'espace qui contient l'origine ainsi que toutes les trajectoires du système.Les vitesses s'annulent simultanément sur la surface £a(h) et pour que les solutions del'équation (1.12) correspondent à un mode normal non-linéaire il faut associer à (1.12) les conditionssuivantesPassage à l'origineui(0) = 0, (j=2,...,n) (1.14)Condition d'orthogonalité à l'équipotentielleI_auOu1au- (u(üi)) = 0, (j = 2,... ,n), avec U(u(üi)) + h = 0 (1.15)nota : Le maximum de la coordonnée Ui, noté ü1, n'est pas connu a priori lorsque le niveaud'énergie h est fixé.1.2.Les propriétés géométriques des trajectoires des modes normaux sont illustrées par la figure