Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

14 CHAPITRE 1. LES MODES NORMAUX DE ROSENBERGdu déplacementt = t(u),=(1.6)En utilisant (1.6), les équations (1.1) s'écrivent alorsdù0U= (u1,...,u)+f(t), (i = 1,... ,n),(1.7)et par intégration de (1.7) sur un intervalle [u , u] et sommation sur les indices i on obtientl'équation de conservationoù le dernier terme représente le travaille des forces externes= U(u)+h+ (1.8)F(u,ü) = JUif(t(x))dx.La constante d'intégration h correspond à l'énergie du système. En multipliant (1.8) par uJ eten utilisant (1.1) et (1.5), il est possible d'éliminer la variable temps et d'obtenir les équationsdes trajectoirespour(j=2,...,n).2[U(u) + h +TiTii=1(&uF(u, ñj)Ju+( u) U3[- + fi(t(ui))] -k=1u1DUf(t(u))]) = (1.9)Il s'agit d'un système de n - 1 équations différentielles non-linéaires (même si le systèmedynamique correspondant est linéaire). Les solutions de ce système déterminent les trajectoiresadmissibles u(ui) du système d'équation (1.1).1.3 Modes normaux des systèmes admissibles1.3.1 Définition des modes normauxLes équations du mouvement pour un système autonome se réduisent à:DU= (u1,. .. ,u,), (z = 1,... ,n). (1.10)Rosenberg /631, définit les modes normaux (non-linéaires) du système admissible autonomed'équation (1.10) comme les vibrations à l'unisson de ce système. Les trajectoires dans l'espacedes configurations (ui,.. . ,u) correspondant à ces vibrations sont appelées les lignes modales.D'après les propriétés de la fonction potentielle U(u), les lignes modales sont symétriquespar rapport à l'origine et l'on distingue deux types de trajectoires