Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

Chapitre iLes modes normaux de Rosenberg1.1 IntroductionLa notion de mode normal pour les systèmes non linéaires a été introduite par Rosenbergdans les années 1960 pour une classe de systèmes dynamiques discrets conservatifs dits admissibles[60], [61], [62], [63], [65]. Les trajectoires particulières des oscillations sur un mode sontcaractérisées par certaines propriétés correspondant à des vibrations dites "à l'unisson". Ils apparaissentcomme une généralisation des modes normaux des systèmes linéaires et existent dansle cadre de systèmes faiblement ou fortement non-linéaires (dans le sens de linéarisable ou non).D'une façon analogue au cas linéaire, bien qu'ici le principe de superposition ne soit plus valable,la notion de mode normal a un intérêt particulier dans l'étude des réponses forcées car il existeun lien étroit entre les propriétés des modes normaux (nombre, forme, loi de dépendance de lapériode vis à vis de l'amplitude) et la topologie des courbes de réponse forcée du système.1.2 Systèmes et mouvements admissibles1.2.1 Systèmes admissiblesLes systèmes considérés auront des équations du mouvement de la formeau= a(i,...,un) +f(t), (z 1,...,n), (1.1)où u = (ui, ..., u) est le vecteur des déplacements, U(u) la fonction potentielle, et f(t) lescomposantes du vecteur des forces externes. La forme (1.1) peut être obtenue après un éventuelchangement de variable linéaire diagonalisant les termes d'inertie pour un système mécaniquediscret ramenant ainsi les masses à l'unité. Les conditions requises sur U(u), pour que ce systèmeappartienne à la classe des systèmes dits admissibles sontLa régularitéU(u) = U(ui,... , u) est supposée dérivable et ses dérivées partielles au moins dérivablespar morceau.La définie-négativité de la fonction potentielle11