116 CHAPITRE 5. IDENTIFICATION NON-LINÉAIREInterpolation sur les pulsations <strong>expérimentale</strong>sLa méthode relative aux expressions (5.48) et (5.52) fournit un échantillonnage <strong>non</strong> régulierdes pulsations Q E [1h, QN]. Celles-ci seront ramenées sur les points de fréquence expérimentauxpar une opération d'interpolation. Cette opération doit également être effectuée avant d'additionnerfréquence à fréquence, deux participations <strong>modale</strong>s pour la superposition.Superposition des réponses <strong>modale</strong>sAprès interpolation des réponses <strong>modale</strong>s sur une bande de fréquence discrétisée commune,les différentes contributions <strong>modale</strong>s peuvent être additionnées en chaque pulsation Q, ...,Qi, Qv. Cette opération ne pose pas de problèmes dans le cas où seulement l'une desopérandes est multivaluée. Conformément à l'hypothèse de superposition, il suffit de sommerles participations fréquence par fréquence. Dans le cas contraire, qui correspond par exempleà des résonances proches, il est possible de construire une opérateur de sommation de deuxparticipations multivaluées qui généralise la sommation précédente, mais celle-ci n'a pas de sensphysique et l'hypothèse de superposition semble de toute façon en défaut dans ces circonstances(voir les exemples numériques dans la partie 2.6).5.5.3 Fonction d'écartCritère d'erreurUne fois que les opérations précédentes ont été effectuées, il convient de définir une fonctionpermettant de quantifier l'écart existant entre les réponses théoriques et <strong>expérimentale</strong>s. Cettefonction prendra en compte plus ou moins de données <strong>expérimentale</strong>s. On pourra baser l'écartsur une différence des souplesses pour chaque point de fréquence (i = 1 ..., Nç), chaque voie demesure (j = 1 ..., N), chaque niveau de force (1 = 1, ..., N1) et enfin chaque sens de parcours dubalayage (s = 1, 2). La forme la plus générale de la fonction d'erreur seraNçNf 2 NI= 'jm(Qi) - jm(Qi) I(s,l)' (5.58)i=1 1=1 s=lj=1OÙ jm est la souplesse théorique et &jm la souplesse mesurée, mais on pourra aborder le problèmeprogressivement.Régularité du critère d'erreurLe fait que les réponses <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s possèdent éventuellement des sauts et que la comparaisondes réponses s'effectue sur un ensemble discret de fréquences, la fonction d'écart (5.58)peut posséder certaines irrégularités.Afin de mettre ceci en évidence, considérons à titre d'exemple, la fonction f définie surl'intervalle [0, 1] parf(x){ 1 si O
5.5. LISSAGE FRÉQUENTIEL 117où,= O, x = iix, (i = 1, ... , N), XN = 1,et,XN/2 =1en prenant un entier N pair (Figure 5.9).Don<strong>non</strong>s nous à présent une fonction g(x, p) définie sur [O, 1], qui dépendra du paramètre pet qui sera définie par( i pourxE[O,p],o pourxe]p,i].(5.61)g(x,p) joue le rôle du modèle théorique dont nous cherchons à déterminer le paramètreoptimal p tel que l'écart entre g(x,p*) et f(x) soit minimum.0 1/2 1 XLXX0 Xj XNI2 XNÛ+1 XN X(x1p)X0 XNP XN XFIG. 5.9 - Exemple de critère d'erreur. (a) Fonction modèle; (b) Valeurs discrétisées; (c)Fonction modèle régularisé (x, p).Pour la fonction f définie par (5.59) et g définie par (5.61), et en considérant le critèred'erreur continu entre les fonctions f et g défini par(p)= fJO1f(x)g(x,p)Idx=jp-(5.62)on a effectivement p' = . Cependant, seules les valeurs discrétisées de f sont données et lecritère discret qui sera utilisé sera (méthode des rectangles)N(P) = I f - g(x,p) .Lx (5.63)i=O