Analyse modale non linéaire expérimentale - Bibliothèque Ecole ...

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114 CHAPITRE 5. IDENTIFICATION NON-LINÉAIRE*Qpoints calculés numériquement/ expression explicite(O(Q)FIG. 5.8 - Synthèse des réponses fréquentielles non-linéaires.Amortissement de type visqueuxEn fonction du type d'amortissement une expression différente est obtenue pour F Dans lecas visqueux, une expression analogue à (5.48) peut être obtenue en reconsidérant l'expressionimplicite de l'amplitude modale (5.44) avec cette foish(Q,íì) =(Q)1 (5.51)De la même façon, on obtient l'expression des pulsations en fonction de l'amplitude modale sousla forme[_(De même, l'amplitude modale Q sera définie par21JLjJ j(Q)R2R(Q)\r 2(Qi) I ( _4] (Qi) +4 ( IQ i)L i(5.52)soit encorec(Q) R)(i(Q;) - 4(Q;)] +2*1 1=0,il'Q;I =La pulsation correspondante est donnée par2'fj(Q)j (\2JAj) (Q;)(5.53)
5.5. LISSAGE FRÉQUENTIEL 115= \-()2(5.54)L'équation (5.53), implicite en Q , ainsi que l'équation (5.44) avec (5.51) pour = et= N sont résolues numériquement en Q , I Qi I, QN j. L'expression explicite (5.52) estensuite appliquée pour obtenir la réponse dans toute la bande de fréquence. L'amplitude modalecomplexe Q est ensuite obtenue en appliquant la formule (5.44) (les fonctions modales sont enfait fonctions du module de Qj, ce que nous avons omis pour alléger la notation).Autres modèles d'amortissementOn pourra appliquer ce qui précède avec des modèles d'amortissement ayant des lois dedépendance fréquentielle simples, ces lois simples pouvant être combinées. La combinaison d'uneloi de type hytérétique avec une loi quadratique en fréquence donnera également une équationbicarréeh(Q, Ç) = ho(Q) + h2(Q)2 (555)Les formes h(Q,íì) = h3(Q)l3, ou même, (Qjl) = h1(Q)1l' par exemple, donnent deséquations bicubiques à partir desquelles on peut exprimer analytiquement en fonction de Q.Dans le cas général, où le modèle de dissipation ferait intervenir une fonction de ì plus complexe,il peut être impossible de résoudre en et on aura alors recours à une procédure numériquepar continuation (prédicteur-correcteur) pour évaluer les participations des modes non-linéairesdans la bande de fréquence d'analyse.Synthèse des composantes de la réponseUne fois connue l'amplitude modale correspondant à l'intervalle [Iii, AN], la contribution dumode j à une composante quelconque k de la réponse sera obtenue directement par l'expressionSuppression des branches instablesUkj(2) = Qj(Z)Ikj(Qj). (5.56)Afin que les réponses synthétisées puissent être comparées à des réponses expérimentales, ilconvient de supprimer dans celles-ci les parties correspondant à des solutions instables. Nousappliquerons pour cela le critère de stabilité de la solution approchée harmonique à un problèmenon-linéaire à 1 degré de liberté [83]. Les points de la courbe de réponse dans le plan (, Q)vérifiant ainsi((Q)
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